Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98086 / 102430
↖ ↑ ↗
← S 70.639948°
E 89.401245°		 ← 101.25 m → S 70.639948°
E 89.403992°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.640858°
E 89.401245°		 ← 101.25 m →
10 250 m²		 S 70.640858°
E 89.403992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748340606689453 y=0.781482696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748340606689453 × 217)
    floor (0.748340606689453 × 131072)
    floor (98086.5)     		tx = 98086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781482696533203 × 217)
    floor (0.781482696533203 × 131072)
    floor (102430.5)     		ty = 102430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98086 / 102430 ti = "17/98086/102430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98086/102430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98086 ÷ 217
    98086 ÷ 131072     		x = 0.748336791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102430 ÷ 217
    102430 ÷ 131072     		y = 0.781478881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748336791992188 × 2 - 1) × π
    0.496673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56034608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781478881835938 × 2 - 1) × π
    -0.562957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76858397458235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56034608} λ = 1.56034608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76858397458235))-π/2
    2×atan(0.170574355517405)-π/2
    2×0.168948326996698-π/2
    0.337896653993395-1.57079632675     		φ = -1.23289967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56034608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.401245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23289967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.639948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98086 KachelY 102430 1.56034608 -1.23289967 89.401245 -70.639948
    Oben rechts KachelX + 1 98087 KachelY 102430 1.56039402 -1.23289967 89.403992 -70.639948
    Unten links KachelX 98086 KachelY + 1 102431 1.56034608 -1.23291556 89.401245 -70.640858
    Unten rechts KachelX + 1 98087 KachelY + 1 102431 1.56039402 -1.23291556 89.403992 -70.640858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23289967--1.23291556) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23289967--1.23291556) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56034608-1.56039402) × cos(-1.23289967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331503419301145 × 6371000     		do = 101.249677152516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56034608-1.56039402) × cos(-1.23291556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331488427774958 × 6371000     		du = 101.245098354537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23289967)-sin(-1.23291556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331503419301145-0.331488427774958)×R²
    abs(1.56039402-1.56034608)×1.49915261872247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49915261872247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49915261872247e-05×40589641000000     		ar = 10249.7985366279m²