Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98084 / 101212
↖ ↑ ↗
← S 69.499918°
E 89.395752°		 ← 106.96 m → S 69.499918°
E 89.398499°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
S 69.500880°
E 89.395752°		 ← 106.96 m →
11 441 m²		 S 69.500880°
E 89.398499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748325347900391 y=0.772190093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748325347900391 × 217)
    floor (0.748325347900391 × 131072)
    floor (98084.5)     		tx = 98084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772190093994141 × 217)
    floor (0.772190093994141 × 131072)
    floor (101212.5)     		ty = 101212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98084 / 101212 ti = "17/98084/101212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98084/101212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98084 ÷ 217
    98084 ÷ 131072     		x = 0.748321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101212 ÷ 217
    101212 ÷ 131072     		y = 0.772186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    0.49664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56025021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.54437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71019683084512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56025021} λ = 1.56025021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71019683084512))-π/2
    2×atan(0.180830196153663)-π/2
    2×0.178896963633159-π/2
    0.357793927266317-1.57079632675     		φ = -1.21300240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56025021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21300240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.499918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98084 KachelY 101212 1.56025021 -1.21300240 89.395752 -69.499918
    Oben rechts KachelX + 1 98085 KachelY 101212 1.56029815 -1.21300240 89.398499 -69.499918
    Unten links KachelX 98084 KachelY + 1 101213 1.56025021 -1.21301919 89.395752 -69.500880
    Unten rechts KachelX + 1 98085 KachelY + 1 101213 1.56029815 -1.21301919 89.398499 -69.500880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21300240--1.21301919) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dl = 106.969090000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21300240--1.21301919) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dr = 106.969090000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56025021-1.56029815) × cos(-1.21300240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350208720827783 × 6371000     		do = 106.962757713209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56025021-1.56029815) × cos(-1.21301919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350192994060772 × 6371000     		du = 106.957954353757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21300240)-sin(-1.21301919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350208720827783-0.350192994060772)×R²
    abs(1.56029815-1.56025021)×1.57267670102823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57267670102823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57267670102823e-05×40589641000000     		ar = 11441.4519512733m²