Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98084 / 100956
↖ ↑ ↗
← S 69.252258°
E 89.395752°		 ← 108.20 m → S 69.252258°
E 89.398499°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
S 69.253231°
E 89.395752°		 ← 108.19 m →
11 705 m²		 S 69.253231°
E 89.398499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748325347900391 y=0.770236968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748325347900391 × 217)
    floor (0.748325347900391 × 131072)
    floor (98084.5)     		tx = 98084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770236968994141 × 217)
    floor (0.770236968994141 × 131072)
    floor (100956.5)     		ty = 100956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98084 / 100956 ti = "17/98084/100956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98084/100956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98084 ÷ 217
    98084 ÷ 131072     		x = 0.748321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100956 ÷ 217
    100956 ÷ 131072     		y = 0.770233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    0.49664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56025021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.54046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69792498454239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56025021} λ = 1.56025021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69792498454239))-π/2
    2×atan(0.183062988750397)-π/2
    2×0.181058208385116-π/2
    0.362116416770233-1.57079632675     		φ = -1.20867991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56025021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20867991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.252258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98084 KachelY 100956 1.56025021 -1.20867991 89.395752 -69.252258
    Oben rechts KachelX + 1 98085 KachelY 100956 1.56029815 -1.20867991 89.398499 -69.252258
    Unten links KachelX 98084 KachelY + 1 100957 1.56025021 -1.20869689 89.395752 -69.253231
    Unten rechts KachelX + 1 98085 KachelY + 1 100957 1.56029815 -1.20869689 89.398499 -69.253231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20867991--1.20869689) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dl = 108.179579998938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20867991--1.20869689) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dr = 108.179579998938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56025021-1.56029815) × cos(-1.20867991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354254190595702 × 6371000     		do = 108.198348310722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56025021-1.56029815) × cos(-1.20869689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354238311711742 × 6371000     		du = 108.193498490839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20867991)-sin(-1.20869689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354254190595702-0.354238311711742)×R²
    abs(1.56029815-1.56025021)×1.58788839595414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58788839595414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58788839595414e-05×40589641000000     		ar = 11704.5895513848m²