Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98081 / 100959
↖ ↑ ↗
← S 69.255176°
E 89.387512°		 ← 108.18 m → S 69.255176°
E 89.390259°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
S 69.256149°
E 89.387512°		 ← 108.18 m →
11 703 m²		 S 69.256149°
E 89.390259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748302459716797 y=0.770259857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748302459716797 × 217)
    floor (0.748302459716797 × 131072)
    floor (98081.5)     		tx = 98081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770259857177734 × 217)
    floor (0.770259857177734 × 131072)
    floor (100959.5)     		ty = 100959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98081 / 100959 ti = "17/98081/100959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98081/100959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98081 ÷ 217
    98081 ÷ 131072     		x = 0.748298645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100959 ÷ 217
    100959 ÷ 131072     		y = 0.770256042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748298645019531 × 2 - 1) × π
    0.496597290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.56010640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770256042480469 × 2 - 1) × π
    -0.540512084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.69806879524125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56010640} λ = 1.56010640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69806879524125))-π/2
    2×atan(0.183036664226969)-π/2
    2×0.181032737326536-π/2
    0.362065474653073-1.57079632675     		φ = -1.20873085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56010640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.387512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20873085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.255176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98081 KachelY 100959 1.56010640 -1.20873085 89.387512 -69.255176
    Oben rechts KachelX + 1 98082 KachelY 100959 1.56015434 -1.20873085 89.390259 -69.255176
    Unten links KachelX 98081 KachelY + 1 100960 1.56010640 -1.20874783 89.387512 -69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 98082 KachelY + 1 100960 1.56015434 -1.20874783 89.390259 -69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20873085--1.20874783) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20873085--1.20874783) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56010640-1.56015434) × cos(-1.20873085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354206553637425 × 6371000     		do = 108.183798757489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56010640-1.56015434) × cos(-1.20874783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 108.178948844027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20873085)-sin(-1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354206553637425-0.354190674447077)×R²
    abs(1.56015434-1.56010640)×1.58791903484001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58791903484001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58791903484001e-05×40589641000000     		ar = 11703.0155819153m²