Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98080 / 100962
↖ ↑ ↗
← S 69.258095°
E 89.384766°		 ← 108.17 m → S 69.258095°
E 89.387512°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
S 69.259067°
E 89.384766°		 ← 108.16 m →
11 695 m²		 S 69.259067°
E 89.387512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748294830322266 y=0.770282745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748294830322266 × 217)
    floor (0.748294830322266 × 131072)
    floor (98080.5)     		tx = 98080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770282745361328 × 217)
    floor (0.770282745361328 × 131072)
    floor (100962.5)     		ty = 100962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98080 / 100962 ti = "17/98080/100962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98080/100962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98080 ÷ 217
    98080 ÷ 131072     		x = 0.748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100962 ÷ 217
    100962 ÷ 131072     		y = 0.770278930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    0.49658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56005846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770278930664062 × 2 - 1) × π
    -0.540557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69821260594011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56005846} λ = 1.56005846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69821260594011))-π/2
    2×atan(0.183010343489016)-π/2
    2×0.181007269693254-π/2
    0.362014539386507-1.57079632675     		φ = -1.20878179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56005846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20878179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.258095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98080 KachelY 100962 1.56005846 -1.20878179 89.384766 -69.258095
    Oben rechts KachelX + 1 98081 KachelY 100962 1.56010640 -1.20878179 89.387512 -69.258095
    Unten links KachelX 98080 KachelY + 1 100963 1.56005846 -1.20879876 89.384766 -69.259067
    Unten rechts KachelX + 1 98081 KachelY + 1 100963 1.56010640 -1.20879876 89.387512 -69.259067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20878179--1.20879876) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20878179--1.20879876) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56005846-1.56010640) × cos(-1.20878179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		do = 108.169248923532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56005846-1.56010640) × cos(-1.20879876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35414304561524 × 6371000     		du = 108.164401772818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20878179)-sin(-1.20879876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354158915760023-0.35414304561524)×R²
    abs(1.56010640-1.56005846)×1.58701447832144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58701447832144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58701447832144e-05×40589641000000     		ar = 11694.5504281133m²