Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98079 / 101154
↖ ↑ ↗
← S 69.444056°
E 89.382019°		 ← 107.24 m → S 69.444056°
E 89.384766°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
S 69.445021°
E 89.382019°		 ← 107.24 m →
11 499 m²		 S 69.445021°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748287200927734 y=0.771747589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748287200927734 × 217)
    floor (0.748287200927734 × 131072)
    floor (98079.5)     		tx = 98079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771747589111328 × 217)
    floor (0.771747589111328 × 131072)
    floor (101154.5)     		ty = 101154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98079 / 101154 ti = "17/98079/101154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98079/101154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98079 ÷ 217
    98079 ÷ 131072     		x = 0.748283386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101154 ÷ 217
    101154 ÷ 131072     		y = 0.771743774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748283386230469 × 2 - 1) × π
    0.496566772460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.56001052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771743774414062 × 2 - 1) × π
    -0.543487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70741649066716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56001052} λ = 1.56001052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70741649066716))-π/2
    2×atan(0.181333665196692)-π/2
    2×0.179384447738893-π/2
    0.358768895477787-1.57079632675     		φ = -1.21202743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56001052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.382019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21202743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.444056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98079 KachelY 101154 1.56001052 -1.21202743 89.382019 -69.444056
    Oben rechts KachelX + 1 98080 KachelY 101154 1.56005846 -1.21202743 89.384766 -69.444056
    Unten links KachelX 98079 KachelY + 1 101155 1.56001052 -1.21204426 89.382019 -69.445021
    Unten rechts KachelX + 1 98080 KachelY + 1 101155 1.56005846 -1.21204426 89.384766 -69.445021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21202743--1.21204426) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21202743--1.21204426) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56001052-1.56005846) × cos(-1.21202743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351121781030819 × 6371000     		do = 107.241629801385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56001052-1.56005846) × cos(-1.21204426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351106022550553 × 6371000     		du = 107.236816755889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21202743)-sin(-1.21204426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351121781030819-0.351106022550553)×R²
    abs(1.56005846-1.56001052)×1.57584802654154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57584802654154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57584802654154e-05×40589641000000     		ar = 11498.6109704115m²