Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98079 / 100961
↖ ↑ ↗
← S 69.257122°
E 89.382019°		 ← 108.17 m → S 69.257122°
E 89.384766°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
S 69.258095°
E 89.382019°		 ← 108.17 m →
11 702 m²		 S 69.258095°
E 89.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748287200927734 y=0.770275115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748287200927734 × 217)
    floor (0.748287200927734 × 131072)
    floor (98079.5)     		tx = 98079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770275115966797 × 217)
    floor (0.770275115966797 × 131072)
    floor (100961.5)     		ty = 100961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98079 / 100961 ti = "17/98079/100961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98079/100961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98079 ÷ 217
    98079 ÷ 131072     		x = 0.748283386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100961 ÷ 217
    100961 ÷ 131072     		y = 0.770271301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748283386230469 × 2 - 1) × π
    0.496566772460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.56001052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770271301269531 × 2 - 1) × π
    -0.540542602539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.69816466904049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56001052} λ = 1.56001052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69816466904049))-π/2
    2×atan(0.183019116647759)-π/2
    2×0.181015758523784-π/2
    0.362031517047567-1.57079632675     		φ = -1.20876481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56001052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.382019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20876481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.257122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98079 KachelY 100961 1.56001052 -1.20876481 89.382019 -69.257122
    Oben rechts KachelX + 1 98080 KachelY 100961 1.56005846 -1.20876481 89.384766 -69.257122
    Unten links KachelX 98079 KachelY + 1 100962 1.56001052 -1.20878179 89.382019 -69.258095
    Unten rechts KachelX + 1 98080 KachelY + 1 100962 1.56005846 -1.20878179 89.384766 -69.258095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20876481--1.20878179) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20876481--1.20878179) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56001052-1.56005846) × cos(-1.20876481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354174795154608 × 6371000     		do = 108.174098899374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56001052-1.56005846) × cos(-1.20878179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		du = 108.169248923532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20876481)-sin(-1.20878179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354174795154608-0.354158915760023)×R²
    abs(1.56005846-1.56001052)×1.58793945846392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58793945846392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58793945846392e-05×40589641000000     		ar = 11701.9662520129m²