Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98077 / 100963
↖ ↑ ↗
← S 69.259067°
E 89.376526°		 ← 108.16 m → S 69.259067°
E 89.379273°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
S 69.260040°
E 89.376526°		 ← 108.16 m →
11 701 m²		 S 69.260040°
E 89.379273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748271942138672 y=0.770290374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748271942138672 × 217)
    floor (0.748271942138672 × 131072)
    floor (98077.5)     		tx = 98077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770290374755859 × 217)
    floor (0.770290374755859 × 131072)
    floor (100963.5)     		ty = 100963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98077 / 100963 ti = "17/98077/100963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98077/100963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98077 ÷ 217
    98077 ÷ 131072     		x = 0.748268127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100963 ÷ 217
    100963 ÷ 131072     		y = 0.770286560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748268127441406 × 2 - 1) × π
    0.496536254882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55991465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770286560058594 × 2 - 1) × π
    -0.540573120117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.69826054283973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55991465} λ = 1.55991465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69826054283973))-π/2
    2×atan(0.183001570750822)-π/2
    2×0.180998781243268-π/2
    0.361997562486536-1.57079632675     		φ = -1.20879876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55991465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.376526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20879876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.259067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98077 KachelY 100963 1.55991465 -1.20879876 89.376526 -69.259067
    Oben rechts KachelX + 1 98078 KachelY 100963 1.55996259 -1.20879876 89.379273 -69.259067
    Unten links KachelX 98077 KachelY + 1 100964 1.55991465 -1.20881574 89.376526 -69.260040
    Unten rechts KachelX + 1 98078 KachelY + 1 100964 1.55996259 -1.20881574 89.379273 -69.260040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20879876--1.20881574) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dl = 108.179579998938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20879876--1.20881574) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dr = 108.179579998938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55991465-1.55996259) × cos(-1.20879876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35414304561524 × 6371000     		do = 108.164401772818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55991465-1.55996259) × cos(-1.20881574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354127166016498 × 6371000     		du = 108.159551734621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20879876)-sin(-1.20881574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35414304561524-0.354127166016498)×R²
    abs(1.55996259-1.55991465)×1.58795987422189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58795987422189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58795987422189e-05×40589641000000     		ar = 11700.9172172139m²