Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98076 / 100948
↖ ↑ ↗
← S 69.244472°
E 89.373779°		 ← 108.24 m → S 69.244472°
E 89.376526°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 69.245446°
E 89.373779°		 ← 108.23 m →
11 716 m²		 S 69.245446°
E 89.376526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748264312744141 y=0.770175933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748264312744141 × 217)
    floor (0.748264312744141 × 131072)
    floor (98076.5)     		tx = 98076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770175933837891 × 217)
    floor (0.770175933837891 × 131072)
    floor (100948.5)     		ty = 100948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98076 / 100948 ti = "17/98076/100948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98076/100948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98076 ÷ 217
    98076 ÷ 131072     		x = 0.748260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100948 ÷ 217
    100948 ÷ 131072     		y = 0.770172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748260498046875 × 2 - 1) × π
    0.49652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55986671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.54034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69754148934543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55986671} λ = 1.55986671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69754148934543))-π/2
    2×atan(0.18313320599045)-π/2
    2×0.181126147956895-π/2
    0.36225229591379-1.57079632675     		φ = -1.20854403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55986671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20854403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.244472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98076 KachelY 100948 1.55986671 -1.20854403 89.373779 -69.244472
    Oben rechts KachelX + 1 98077 KachelY 100948 1.55991465 -1.20854403 89.376526 -69.244472
    Unten links KachelX 98076 KachelY + 1 100949 1.55986671 -1.20856102 89.373779 -69.245446
    Unten rechts KachelX + 1 98077 KachelY + 1 100949 1.55991465 -1.20856102 89.376526 -69.245446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20854403--1.20856102) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20854403--1.20856102) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55986671-1.55991465) × cos(-1.20854403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354381255394043 × 6371000     		do = 108.237157170783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55986671-1.55991465) × cos(-1.20856102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354365367976491 × 6371000     		du = 108.232304744521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20854403)-sin(-1.20856102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354381255394043-0.354365367976491)×R²
    abs(1.55991465-1.55986671)×1.58874175515411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58874175515411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58874175515411e-05×40589641000000     		ar = 11715.6833715081m²