Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98064 / 100944
↖ ↑ ↗
← S 69.240578°
E 89.340820°		 ← 108.26 m → S 69.240578°
E 89.343567°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 69.241552°
E 89.340820°		 ← 108.25 m →
11 718 m²		 S 69.241552°
E 89.343567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748172760009766 y=0.770145416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748172760009766 × 217)
    floor (0.748172760009766 × 131072)
    floor (98064.5)     		tx = 98064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770145416259766 × 217)
    floor (0.770145416259766 × 131072)
    floor (100944.5)     		ty = 100944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98064 / 100944 ti = "17/98064/100944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98064/100944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98064 ÷ 217
    98064 ÷ 131072     		x = 0.7481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100944 ÷ 217
    100944 ÷ 131072     		y = 0.7701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7481689453125 × 2 - 1) × π
    0.496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55929147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55929147} λ = 1.55929147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69734974174695))-π/2
    2×atan(0.183168324709758)-π/2
    2×0.181160126880301-π/2
    0.362320253760601-1.57079632675     		φ = -1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55929147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98064 KachelY 100944 1.55929147 -1.20847607 89.340820 -69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 98065 KachelY 100944 1.55933941 -1.20847607 89.343567 -69.240578
    Unten links KachelX 98064 KachelY + 1 100945 1.55929147 -1.20849306 89.340820 -69.241552
    Unten rechts KachelX + 1 98065 KachelY + 1 100945 1.55933941 -1.20849306 89.343567 -69.241552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20847607--1.20849306) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20847607--1.20849306) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55929147-1.55933941) × cos(-1.20847607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 108.256566563382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55929147-1.55933941) × cos(-1.20849306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354428917032905 × 6371000     		du = 108.251714262103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20847607)-sin(-1.20849306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354428917032905)×R²
    abs(1.55933941-1.55929147)×1.58870083411533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58870083411533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58870083411533e-05×40589641000000     		ar = 11717.7843145834m²