Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9806 / 7515
↖ ↑ ↗
← N 14.711135°
E 35.463867°		 ← 2 363.12 m → N 14.711135°
E 35.485840°		 →
↑
2 363.26 m
↓
↑
2 363.26 m
↓
N 14.689882°
E 35.463867°		 ← 2 363.35 m →
5 584 941 m²		 N 14.689882°
E 35.485840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598541259765625 y=0.458709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598541259765625 × 214)
    floor (0.598541259765625 × 16384)
    floor (9806.5)     		tx = 9806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458709716796875 × 214)
    floor (0.458709716796875 × 16384)
    floor (7515.5)     		ty = 7515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9806 / 7515 ti = "14/9806/7515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9806/7515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9806 ÷ 214
    9806 ÷ 16384     		x = 0.5985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7515 ÷ 214
    7515 ÷ 16384     		y = 0.45867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5985107421875 × 2 - 1) × π
    0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45867919921875 × 2 - 1) × π
    0.0826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.259626248342224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61896125} λ = 0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259626248342224))-π/2
    2×atan(1.29644544746885)-π/2
    2×0.913777032517297-π/2
    1.82755406503459-1.57079632675     		φ = 0.25675774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25675774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.711135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9806 KachelY 7515 0.61896125 0.25675774 35.463867 14.711135
    Oben rechts KachelX + 1 9807 KachelY 7515 0.61934474 0.25675774 35.485840 14.711135
    Unten links KachelX 9806 KachelY + 1 7516 0.61896125 0.25638680 35.463867 14.689882
    Unten rechts KachelX + 1 9807 KachelY + 1 7516 0.61934474 0.25638680 35.485840 14.689882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25675774-0.25638680) × R
    0.000370939999999986 × 6371000     		dl = 2363.25873999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25675774-0.25638680) × R
    0.000370939999999986 × 6371000     		dr = 2363.25873999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61896125-0.61934474) × cos(0.25675774) × R
    0.000383489999999931 × 0.967218419202297 × 6371000     		do = 2363.12234695505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61896125-0.61934474) × cos(0.25638680) × R
    0.000383489999999931 × 0.967312551356243 × 6371000     		du = 2363.35233202578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25675774)-sin(0.25638680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967218419202297-0.967312551356243)×R²
    abs(0.61934474-0.61896125)×9.41321539463802e-05×R²
    0.000383489999999931×9.41321539463802e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.41321539463802e-05×40589641000000     		ar = 5584941.361284m²