Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98049 / 102661
↖ ↑ ↗
← S 70.849178°
E 89.299622°		 ← 100.18 m → S 70.849178°
E 89.302368°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
S 70.850079°
E 89.299622°		 ← 100.17 m →
10 039 m²		 S 70.850079°
E 89.302368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748058319091797 y=0.783245086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748058319091797 × 217)
    floor (0.748058319091797 × 131072)
    floor (98049.5)     		tx = 98049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783245086669922 × 217)
    floor (0.783245086669922 × 131072)
    floor (102661.5)     		ty = 102661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98049 / 102661 ti = "17/98049/102661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98049/102661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98049 ÷ 217
    98049 ÷ 131072     		x = 0.748054504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102661 ÷ 217
    102661 ÷ 131072     		y = 0.783241271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748054504394531 × 2 - 1) × π
    0.496109008789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55857242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.566482543945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.77965739839458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55857242} λ = 1.55857242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77965739839458))-π/2
    2×atan(0.168695932866738)-π/2
    2×0.167122446509723-π/2
    0.334244893019446-1.57079632675     		φ = -1.23655143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55857242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.299622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23655143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.849178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98049 KachelY 102661 1.55857242 -1.23655143 89.299622 -70.849178
    Oben rechts KachelX + 1 98050 KachelY 102661 1.55862035 -1.23655143 89.302368 -70.849178
    Unten links KachelX 98049 KachelY + 1 102662 1.55857242 -1.23656716 89.299622 -70.850079
    Unten rechts KachelX + 1 98050 KachelY + 1 102662 1.55862035 -1.23656716 89.302368 -70.850079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23655143--1.23656716) × R
    1.57300000001026e-05 × 6371000     		dl = 100.215830000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23655143--1.23656716) × R
    1.57300000001026e-05 × 6371000     		dr = 100.215830000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55857242-1.55862035) × cos(-1.23655143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328055948960997 × 6371000     		do = 100.175830528368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55857242-1.55862035) × cos(-1.23656716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328041089445431 × 6371000     		du = 100.17129299653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23655143)-sin(-1.23656716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328055948960997-0.328041089445431)×R²
    abs(1.55862035-1.55857242)×1.4859515566068e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4859515566068e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4859515566068e-05×40589641000000     		ar = 10038.9766362956m²