Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98027 / 102353
↖ ↑ ↗
← S 70.569717°
E 89.239197°		 ← 101.58 m → S 70.569717°
E 89.241943°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
S 70.570631°
E 89.239197°		 ← 101.58 m →
10 322 m²		 S 70.570631°
E 89.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747890472412109 y=0.780895233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747890472412109 × 217)
    floor (0.747890472412109 × 131072)
    floor (98027.5)     		tx = 98027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780895233154297 × 217)
    floor (0.780895233154297 × 131072)
    floor (102353.5)     		ty = 102353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98027 / 102353 ti = "17/98027/102353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98027/102353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98027 ÷ 217
    98027 ÷ 131072     		x = 0.747886657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102353 ÷ 217
    102353 ÷ 131072     		y = 0.780891418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747886657714844 × 2 - 1) × π
    0.495773315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.55751781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780891418457031 × 2 - 1) × π
    -0.561782836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76489283331161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55751781} λ = 1.55751781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76489283331161))-π/2
    2×atan(0.171205132988995)-π/2
    2×0.169561206347843-π/2
    0.339122412695685-1.57079632675     		φ = -1.23167391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55751781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.239197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23167391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.569717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98027 KachelY 102353 1.55751781 -1.23167391 89.239197 -70.569717
    Oben rechts KachelX + 1 98028 KachelY 102353 1.55756574 -1.23167391 89.241943 -70.569717
    Unten links KachelX 98027 KachelY + 1 102354 1.55751781 -1.23168986 89.239197 -70.570631
    Unten rechts KachelX + 1 98028 KachelY + 1 102354 1.55756574 -1.23168986 89.241943 -70.570631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23167391--1.23168986) × R
    1.59499999998758e-05 × 6371000     		dl = 101.617449999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23167391--1.23168986) × R
    1.59499999998758e-05 × 6371000     		dr = 101.617449999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55751781-1.55756574) × cos(-1.23167391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332659618168097 × 6371000     		do = 101.581616302897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55751781-1.55756574) × cos(-1.23168986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332644576526689 × 6371000     		du = 101.577023156742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23167391)-sin(-1.23168986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332659618168097-0.332644576526689)×R²
    abs(1.55756574-1.55751781)×1.50416414077537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50416414077537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50416414077537e-05×40589641000000     		ar = 10322.2314439205m²