Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98026 / 102361
↖ ↑ ↗
← S 70.577025°
E 89.236450°		 ← 101.57 m → S 70.577025°
E 89.239197°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
S 70.577938°
E 89.236450°		 ← 101.56 m →
10 314 m²		 S 70.577938°
E 89.239197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747882843017578 y=0.780956268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747882843017578 × 217)
    floor (0.747882843017578 × 131072)
    floor (98026.5)     		tx = 98026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780956268310547 × 217)
    floor (0.780956268310547 × 131072)
    floor (102361.5)     		ty = 102361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98026 / 102361 ti = "17/98026/102361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98026/102361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98026 ÷ 217
    98026 ÷ 131072     		x = 0.747879028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102361 ÷ 217
    102361 ÷ 131072     		y = 0.780952453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747879028320312 × 2 - 1) × π
    0.495758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55746987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780952453613281 × 2 - 1) × π
    -0.561904907226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.76527632850857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55746987} λ = 1.55746987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76527632850857))-π/2
    2×atan(0.171139489230636)-π/2
    2×0.169497431198825-π/2
    0.33899486239765-1.57079632675     		φ = -1.23180146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55746987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.236450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23180146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.577025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98026 KachelY 102361 1.55746987 -1.23180146 89.236450 -70.577025
    Oben rechts KachelX + 1 98027 KachelY 102361 1.55751781 -1.23180146 89.239197 -70.577025
    Unten links KachelX 98026 KachelY + 1 102362 1.55746987 -1.23181740 89.236450 -70.577938
    Unten rechts KachelX + 1 98027 KachelY + 1 102362 1.55751781 -1.23181740 89.239197 -70.577938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23180146--1.23181740) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23180146--1.23181740) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55746987-1.55751781) × cos(-1.23180146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332539329822 × 6371000     		do = 101.566070889922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55746987-1.55751781) × cos(-1.23181740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332524296934907 × 6371000     		du = 101.561479459257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23180146)-sin(-1.23181740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332539329822-0.332524296934907)×R²
    abs(1.55751781-1.55746987)×1.50328870934802e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50328870934802e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50328870934802e-05×40589641000000     		ar = 10314.1812176839m²