Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98020 / 101580
↖ ↑ ↗
← S 69.850978°
E 89.219971°		 ← 105.19 m → S 69.850978°
E 89.222717°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.851924°
E 89.219971°		 ← 105.18 m →
11 070 m²		 S 69.851924°
E 89.222717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747837066650391 y=0.774997711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747837066650391 × 217)
    floor (0.747837066650391 × 131072)
    floor (98020.5)     		tx = 98020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774997711181641 × 217)
    floor (0.774997711181641 × 131072)
    floor (101580.5)     		ty = 101580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98020 / 101580 ti = "17/98020/101580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98020/101580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98020 ÷ 217
    98020 ÷ 131072     		x = 0.747833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101580 ÷ 217
    101580 ÷ 131072     		y = 0.774993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747833251953125 × 2 - 1) × π
    0.49566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55718225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.54998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7278376099053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55718225} λ = 1.55718225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7278376099053))-π/2
    2×atan(0.177668182805689)-π/2
    2×0.175833386099137-π/2
    0.351666772198275-1.57079632675     		φ = -1.21912955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55718225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.219971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21912955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.850978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98020 KachelY 101580 1.55718225 -1.21912955 89.219971 -69.850978
    Oben rechts KachelX + 1 98021 KachelY 101580 1.55723018 -1.21912955 89.222717 -69.850978
    Unten links KachelX 98020 KachelY + 1 101581 1.55718225 -1.21914607 89.219971 -69.851924
    Unten rechts KachelX + 1 98021 KachelY + 1 101581 1.55723018 -1.21914607 89.222717 -69.851924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21912955--1.21914607) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dl = 105.248920001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21912955--1.21914607) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dr = 105.248920001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55718225-1.55723018) × cos(-1.21912955) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344463055060232 × 6371000     		do = 105.185937752771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55718225-1.55723018) × cos(-1.21914607) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344447546039308 × 6371000     		du = 105.181201886659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21912955)-sin(-1.21914607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344463055060232-0.344447546039308)×R²
    abs(1.55723018-1.55718225)×1.55090209241759e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.55090209241759e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.55090209241759e-05×40589641000000     		ar = 11070.4571256615m²