Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98017 / 102363
↖ ↑ ↗
← S 70.578851°
E 89.211731°		 ← 101.54 m → S 70.578851°
E 89.214477°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
S 70.579765°
E 89.211731°		 ← 101.53 m →
10 311 m²		 S 70.579765°
E 89.214477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747814178466797 y=0.780971527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747814178466797 × 217)
    floor (0.747814178466797 × 131072)
    floor (98017.5)     		tx = 98017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780971527099609 × 217)
    floor (0.780971527099609 × 131072)
    floor (102363.5)     		ty = 102363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98017 / 102363 ti = "17/98017/102363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98017/102363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98017 ÷ 217
    98017 ÷ 131072     		x = 0.747810363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102363 ÷ 217
    102363 ÷ 131072     		y = 0.780967712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747810363769531 × 2 - 1) × π
    0.495620727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55703844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780967712402344 × 2 - 1) × π
    -0.561935424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.76537220230781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55703844} λ = 1.55703844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76537220230781))-π/2
    2×atan(0.171123082224117)-π/2
    2×0.1694814910152-π/2
    0.338962982030401-1.57079632675     		φ = -1.23183334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55703844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.211731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23183334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.578851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98017 KachelY 102363 1.55703844 -1.23183334 89.211731 -70.578851
    Oben rechts KachelX + 1 98018 KachelY 102363 1.55708637 -1.23183334 89.214477 -70.578851
    Unten links KachelX 98017 KachelY + 1 102364 1.55703844 -1.23184928 89.211731 -70.579765
    Unten rechts KachelX + 1 98018 KachelY + 1 102364 1.55708637 -1.23184928 89.214477 -70.579765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23183334--1.23184928) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23183334--1.23184928) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55703844-1.55708637) × cos(-1.23183334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332509263963324 × 6371000     		do = 101.535703837709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55703844-1.55708637) × cos(-1.23184928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332494230907257 × 6371000     		du = 101.531113313191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23183334)-sin(-1.23184928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332509263963324-0.332494230907257)×R²
    abs(1.55708637-1.55703844)×1.50330560675926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50330560675926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50330560675926e-05×40589641000000     		ar = 10311.0973760689m²