Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 98009 / 101591
↖ ↑ ↗
← S 69.861383°
E 89.189758°		 ← 105.16 m → S 69.861383°
E 89.192505°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.862328°
E 89.189758°		 ← 105.15 m →
11 054 m²		 S 69.862328°
E 89.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747753143310547 y=0.775081634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747753143310547 × 217)
    floor (0.747753143310547 × 131072)
    floor (98009.5)     		tx = 98009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775081634521484 × 217)
    floor (0.775081634521484 × 131072)
    floor (101591.5)     		ty = 101591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98009 / 101591 ti = "17/98009/101591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98009/101591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98009 ÷ 217
    98009 ÷ 131072     		x = 0.747749328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101591 ÷ 217
    101591 ÷ 131072     		y = 0.775077819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747749328613281 × 2 - 1) × π
    0.495498657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.55665494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775077819824219 × 2 - 1) × π
    -0.550155639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72836491580112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55665494} λ = 1.55665494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72836491580112))-π/2
    2×atan(0.177574522021508)-π/2
    2×0.175742589876357-π/2
    0.351485179752713-1.57079632675     		φ = -1.21931115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55665494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.189758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21931115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.861383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98009 KachelY 101591 1.55665494 -1.21931115 89.189758 -69.861383
    Oben rechts KachelX + 1 98010 KachelY 101591 1.55670288 -1.21931115 89.192505 -69.861383
    Unten links KachelX 98009 KachelY + 1 101592 1.55665494 -1.21932765 89.189758 -69.862328
    Unten rechts KachelX + 1 98010 KachelY + 1 101592 1.55670288 -1.21932765 89.192505 -69.862328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21931115--1.21932765) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21931115--1.21932765) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55665494-1.55670288) × cos(-1.21931115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344292563324076 × 6371000     		do = 105.155810929684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55665494-1.55670288) × cos(-1.21932765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344277072047393 × 6371000     		du = 105.151079495039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21931115)-sin(-1.21932765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344292563324076-0.344277072047393)×R²
    abs(1.55670288-1.55665494)×1.5491276683266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5491276683266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5491276683266e-05×40589641000000     		ar = 11053.88789109m²