Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98008 / 101594
↖ ↑ ↗
← S 69.864220°
E 89.187011°		 ← 105.14 m → S 69.864220°
E 89.189758°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.865165°
E 89.187011°		 ← 105.14 m →
11 052 m²		 S 69.865165°
E 89.189758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747745513916016 y=0.775104522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747745513916016 × 217)
    floor (0.747745513916016 × 131072)
    floor (98008.5)     		tx = 98008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775104522705078 × 217)
    floor (0.775104522705078 × 131072)
    floor (101594.5)     		ty = 101594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98008 / 101594 ti = "17/98008/101594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98008/101594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98008 ÷ 217
    98008 ÷ 131072     		x = 0.74774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101594 ÷ 217
    101594 ÷ 131072     		y = 0.775100708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74774169921875 × 2 - 1) × π
    0.4954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55660700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775100708007812 × 2 - 1) × π
    -0.550201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72850872649998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55660700} λ = 1.55660700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72850872649998))-π/2
    2×atan(0.177548986741563)-π/2
    2×0.17571783507031-π/2
    0.351435670140621-1.57079632675     		φ = -1.21936066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55660700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.187011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21936066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.864220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98008 KachelY 101594 1.55660700 -1.21936066 89.187011 -69.864220
    Oben rechts KachelX + 1 98009 KachelY 101594 1.55665494 -1.21936066 89.189758 -69.864220
    Unten links KachelX 98008 KachelY + 1 101595 1.55660700 -1.21937716 89.187011 -69.865165
    Unten rechts KachelX + 1 98009 KachelY + 1 101595 1.55665494 -1.21937716 89.189758 -69.865165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21936066--1.21937716) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21936066--1.21937716) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55660700-1.55665494) × cos(-1.21936066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344246079824048 × 6371000     		do = 105.14161367229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55660700-1.55665494) × cos(-1.21937716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344230588266132 × 6371000     		du = 105.13688215175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21936066)-sin(-1.21937716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344246079824048-0.344230588266132)×R²
    abs(1.55665494-1.55660700)×1.54915579157477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54915579157477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54915579157477e-05×40589641000000     		ar = 11052.3954496514m²