Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98007 / 101559
↖ ↑ ↗
← S 69.831101°
E 89.184265°		 ← 105.29 m → S 69.831101°
E 89.187011°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.832048°
E 89.184265°		 ← 105.28 m →
11 088 m²		 S 69.832048°
E 89.187011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747737884521484 y=0.774837493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747737884521484 × 217)
    floor (0.747737884521484 × 131072)
    floor (98007.5)     		tx = 98007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774837493896484 × 217)
    floor (0.774837493896484 × 131072)
    floor (101559.5)     		ty = 101559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98007 / 101559 ti = "17/98007/101559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98007/101559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98007 ÷ 217
    98007 ÷ 131072     		x = 0.747734069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101559 ÷ 217
    101559 ÷ 131072     		y = 0.774833679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747734069824219 × 2 - 1) × π
    0.495468139648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.55655907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774833679199219 × 2 - 1) × π
    -0.549667358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72683093501328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55655907} λ = 1.55655907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72683093501328))-π/2
    2×atan(0.177847126958611)-π/2
    2×0.17600684920202-π/2
    0.352013698404039-1.57079632675     		φ = -1.21878263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55655907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.184265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21878263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.831101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98007 KachelY 101559 1.55655907 -1.21878263 89.184265 -69.831101
    Oben rechts KachelX + 1 98008 KachelY 101559 1.55660700 -1.21878263 89.187011 -69.831101
    Unten links KachelX 98007 KachelY + 1 101560 1.55655907 -1.21879916 89.184265 -69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 98008 KachelY + 1 101560 1.55660700 -1.21879916 89.187011 -69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21878263--1.21879916) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21878263--1.21879916) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55655907-1.55660700) × cos(-1.21878263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344788722777373 × 6371000     		do = 105.28538430847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55655907-1.55660700) × cos(-1.21879916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 105.280646179072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21878263)-sin(-1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344788722777373-0.344773206344636)×R²
    abs(1.55660700-1.55655907)×1.55164327368951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55164327368951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55164327368951e-05×40589641000000     		ar = 11087.6312299503m²