Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98003 / 101585
↖ ↑ ↗
← S 69.855708°
E 89.173279°		 ← 105.18 m → S 69.855708°
E 89.176026°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.856654°
E 89.173279°		 ← 105.18 m →
11 064 m²		 S 69.856654°
E 89.176026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747707366943359 y=0.775035858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747707366943359 × 217)
    floor (0.747707366943359 × 131072)
    floor (98003.5)     		tx = 98003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775035858154297 × 217)
    floor (0.775035858154297 × 131072)
    floor (101585.5)     		ty = 101585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98003 / 101585 ti = "17/98003/101585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98003/101585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98003 ÷ 217
    98003 ÷ 131072     		x = 0.747703552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101585 ÷ 217
    101585 ÷ 131072     		y = 0.775032043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747703552246094 × 2 - 1) × π
    0.495407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.55636732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775032043457031 × 2 - 1) × π
    -0.550064086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7280772944034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55636732} λ = 1.55636732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7280772944034))-π/2
    2×atan(0.177625603599456)-π/2
    2×0.175792109516584-π/2
    0.351584219033167-1.57079632675     		φ = -1.21921211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55636732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.173279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21921211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.855708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98003 KachelY 101585 1.55636732 -1.21921211 89.173279 -69.855708
    Oben rechts KachelX + 1 98004 KachelY 101585 1.55641526 -1.21921211 89.176026 -69.855708
    Unten links KachelX 98003 KachelY + 1 101586 1.55636732 -1.21922862 89.173279 -69.856654
    Unten rechts KachelX + 1 98004 KachelY + 1 101586 1.55641526 -1.21922862 89.176026 -69.856654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21921211--1.21922862) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21921211--1.21922862) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55636732-1.55641526) × cos(-1.21921211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344385546568754 × 6371000     		do = 105.184210405997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55636732-1.55641526) × cos(-1.21922862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344370046466423 × 6371000     		du = 105.179476275773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21921211)-sin(-1.21922862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344385546568754-0.344370046466423)×R²
    abs(1.55641526-1.55636732)×1.55001023307011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55001023307011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55001023307011e-05×40589641000000     		ar = 11063.5742800686m²