Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98001 / 101073
↖ ↑ ↗
← S 69.365799°
E 89.167786°		 ← 107.61 m → S 69.365799°
E 89.170532°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.366767°
E 89.167786°		 ← 107.60 m →
11 586 m²		 S 69.366767°
E 89.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747692108154297 y=0.771129608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747692108154297 × 217)
    floor (0.747692108154297 × 131072)
    floor (98001.5)     		tx = 98001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771129608154297 × 217)
    floor (0.771129608154297 × 131072)
    floor (101073.5)     		ty = 101073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98001 / 101073 ti = "17/98001/101073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98001/101073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98001 ÷ 217
    98001 ÷ 131072     		x = 0.747688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101073 ÷ 217
    101073 ÷ 131072     		y = 0.771125793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747688293457031 × 2 - 1) × π
    0.495376586914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55627145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771125793457031 × 2 - 1) × π
    -0.542251586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70353360179794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55627145} λ = 1.55627145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70353360179794))-π/2
    2×atan(0.182039132405937)-π/2
    2×0.180067371641265-π/2
    0.36013474328253-1.57079632675     		φ = -1.21066158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55627145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.167786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21066158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.365799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98001 KachelY 101073 1.55627145 -1.21066158 89.167786 -69.365799
    Oben rechts KachelX + 1 98002 KachelY 101073 1.55631938 -1.21066158 89.170532 -69.365799
    Unten links KachelX 98001 KachelY + 1 101074 1.55627145 -1.21067848 89.167786 -69.366767
    Unten rechts KachelX + 1 98002 KachelY + 1 101074 1.55631938 -1.21067848 89.170532 -69.366767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21066158--1.21067848) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dl = 107.669899999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21066158--1.21067848) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dr = 107.669899999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55627145-1.55631938) × cos(-1.21066158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352400339173984 × 6371000     		do = 107.609682942922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55627145-1.55631938) × cos(-1.21067848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35238452326969 × 6371000     		du = 107.604853366281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21066158)-sin(-1.21067848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352400339173984-0.35238452326969)×R²
    abs(1.55631938-1.55627145)×1.58159042940031e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58159042940031e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58159042940031e-05×40589641000000     		ar = 11586.063801796m²