Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9800 / 7447
↖ ↑ ↗
← N 16.151369°
E 35.332031°		 ← 2 346.78 m → N 16.151369°
E 35.354004°		 →
↑
2 346.95 m
↓
↑
2 346.95 m
↓
N 16.130262°
E 35.332031°		 ← 2 347.03 m →
5 508 070 m²		 N 16.130262°
E 35.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598175048828125 y=0.454559326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598175048828125 × 214)
    floor (0.598175048828125 × 16384)
    floor (9800.5)     		tx = 9800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454559326171875 × 214)
    floor (0.454559326171875 × 16384)
    floor (7447.5)     		ty = 7447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9800 / 7447 ti = "14/9800/7447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9800/7447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9800 ÷ 214
    9800 ÷ 16384     		x = 0.59814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7447 ÷ 214
    7447 ÷ 16384     		y = 0.45452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    0.1962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61666028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    0.0909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285703921735535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61666028} λ = 0.61666028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285703921735535))-π/2
    2×atan(1.33069840604588)-π/2
    2×0.926345443221363-π/2
    1.85269088644273-1.57079632675     		φ = 0.28189456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61666028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28189456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.151369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9800 KachelY 7447 0.61666028 0.28189456 35.332031 16.151369
    Oben rechts KachelX + 1 9801 KachelY 7447 0.61704377 0.28189456 35.354004 16.151369
    Unten links KachelX 9800 KachelY + 1 7448 0.61666028 0.28152618 35.332031 16.130262
    Unten rechts KachelX + 1 9801 KachelY + 1 7448 0.61704377 0.28152618 35.354004 16.130262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28189456-0.28152618) × R
    0.000368380000000001 × 6371000     		dl = 2346.94898000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28189456-0.28152618) × R
    0.000368380000000001 × 6371000     		dr = 2346.94898000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61666028-0.61704377) × cos(0.28189456) × R
    0.000383490000000042 × 0.96053014148114 × 6371000     		do = 2346.78144790777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61666028-0.61704377) × cos(0.28152618) × R
    0.000383490000000042 × 0.96063255075363 × 6371000     		du = 2347.03165575695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28189456)-sin(0.28152618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96053014148114-0.96063255075363)×R²
    abs(0.61704377-0.61666028)×0.000102409272489501×R²
    0.000383490000000042×0.000102409272489501×6371000²
    0.000383490000000042×0.000102409272489501×40589641000000     		ar = 5508070.00026715m²