Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 980 / 493
↖ ↑ ↗
← N 67.809245°
W  7.734375°		 ← 7 382.35 m → N 67.809245°
W  7.558594°		 →
↑
7 392.84 m
↓
↑
7 392.84 m
↓
N 67.742759°
W  7.734375°		 ← 7 403.34 m →
54 654 153 m²		 N 67.742759°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478759765625 y=0.240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478759765625 × 211)
    floor (0.478759765625 × 2048)
    floor (980.5)     		tx = 980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240966796875 × 211)
    floor (0.240966796875 × 2048)
    floor (493.5)     		ty = 493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 980 / 493 ti = "11/980/493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/980/493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 980 ÷ 211
    980 ÷ 2048     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 493 ÷ 211
    493 ÷ 2048     		y = 0.24072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24072265625 × 2 - 1) × π
    0.5185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62908759668799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62908759668799))-π/2
    2×atan(5.09922005012979)-π/2
    2×1.37714545334844-π/2
    2.75429090669689-1.57079632675     		φ = 1.18349458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18349458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.809245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 980 KachelY 493 -0.13499031 1.18349458 -7.734375 67.809245
    Oben rechts KachelX + 1 981 KachelY 493 -0.13192235 1.18349458 -7.558594 67.809245
    Unten links KachelX 980 KachelY + 1 494 -0.13499031 1.18233419 -7.734375 67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 981 KachelY + 1 494 -0.13192235 1.18233419 -7.558594 67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18349458-1.18233419) × R
    0.00116039000000012 × 6371000     		dl = 7392.84469000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18349458-1.18233419) × R
    0.00116039000000012 × 6371000     		dr = 7392.84469000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(1.18349458) × R
    0.00306796000000001 × 0.377691395322837 × 6371000     		do = 7382.34587574314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(1.18233419) × R
    0.00306796000000001 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 7403.34190938829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18349458)-sin(1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377691395322837-0.378765582495472)×R²
    abs(-0.13192235--0.13499031)×0.00107418717263535×R²
    0.00306796000000001×0.00107418717263535×6371000²
    0.00306796000000001×0.00107418717263535×40589641000000     		ar = 54654152.8478297m²