Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 980 / 492
↖ ↑ ↗
← N 67.875541°
W  7.734375°		 ← 7 361.40 m → N 67.875541°
W  7.558594°		 →
↑
7 371.88 m
↓
↑
7 371.88 m
↓
N 67.809245°
W  7.734375°		 ← 7 382.35 m →
54 344 597 m²		 N 67.809245°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478759765625 y=0.240478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478759765625 × 211)
    floor (0.478759765625 × 2048)
    floor (980.5)     		tx = 980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240478515625 × 211)
    floor (0.240478515625 × 2048)
    floor (492.5)     		ty = 492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 980 / 492 ti = "11/980/492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/980/492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 980 ÷ 211
    980 ÷ 2048     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 492 ÷ 211
    492 ÷ 2048     		y = 0.240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240234375 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63215555826367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63215555826367))-π/2
    2×atan(5.11488828378933)-π/2
    2×1.37772400242565-π/2
    2.7554480048513-1.57079632675     		φ = 1.18465168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18465168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.875541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 980 KachelY 492 -0.13499031 1.18465168 -7.734375 67.875541
    Oben rechts KachelX + 1 981 KachelY 492 -0.13192235 1.18465168 -7.558594 67.875541
    Unten links KachelX 980 KachelY + 1 493 -0.13499031 1.18349458 -7.734375 67.809245
    Unten rechts KachelX + 1 981 KachelY + 1 493 -0.13192235 1.18349458 -7.558594 67.809245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18465168-1.18349458) × R
    0.00115709999999991 × 6371000     		dl = 7371.88409999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18465168-1.18349458) × R
    0.00115709999999991 × 6371000     		dr = 7371.88409999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(1.18465168) × R
    0.00306796000000001 × 0.376619747339496 × 6371000     		do = 7361.39947302378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(1.18349458) × R
    0.00306796000000001 × 0.377691395322837 × 6371000     		du = 7382.34587574314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18465168)-sin(1.18349458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376619747339496-0.377691395322837)×R²
    abs(-0.13192235--0.13499031)×0.00107164798334131×R²
    0.00306796000000001×0.00107164798334131×6371000²
    0.00306796000000001×0.00107164798334131×40589641000000     		ar = 54344597.0189228m²