Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 980 / 1240
↖ ↑ ↗
← S 35.460670°
W  7.734375°		 ← 15.920 km → S 35.460670°
W  7.558594°		 →
↑
15.906 km
↓
↑
15.906 km
↓
S 35.603719°
W  7.734375°		 ← 15.892 km →
253.010 km²		 S 35.603719°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478759765625 y=0.605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478759765625 × 211)
    floor (0.478759765625 × 2048)
    floor (980.5)     		tx = 980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.605712890625 × 211)
    floor (0.605712890625 × 2048)
    floor (1240.5)     		ty = 1240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 980 / 1240 ti = "11/980/1240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/980/1240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 980 ÷ 211
    980 ÷ 2048     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1240 ÷ 211
    1240 ÷ 2048     		y = 0.60546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60546875 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.662679700347656))-π/2
    2×atan(0.515468181835979)-π/2
    2×0.475945440596857-π/2
    0.951890881193713-1.57079632675     		φ = -0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 980 KachelY 1240 -0.13499031 -0.61890545 -7.734375 -35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 981 KachelY 1240 -0.13192235 -0.61890545 -7.558594 -35.460670
    Unten links KachelX 980 KachelY + 1 1241 -0.13499031 -0.62140212 -7.734375 -35.603719
    Unten rechts KachelX + 1 981 KachelY + 1 1241 -0.13192235 -0.62140212 -7.558594 -35.603719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61890545--0.62140212) × R
    0.00249666999999998 × 6371000     		dl = 15906.2845699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61890545--0.62140212) × R
    0.00249666999999998 × 6371000     		dr = 15906.2845699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(-0.61890545) × R
    0.00306796000000001 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 15920.4676300374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13192235) × cos(-0.62140212) × R
    0.00306796000000001 × 0.813062975892 × 6371000     		du = 15892.1071041748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61890545)-sin(-0.62140212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.813062975892)×R²
    abs(-0.13192235--0.13499031)×0.00145096514920973×R²
    0.00306796000000001×0.00145096514920973×6371000²
    0.00306796000000001×0.00145096514920973×40589641000000     		ar = 253010064.738652m²