Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 980 / 1093
↖ ↑ ↗
← N 78.586606°
W136.933594°		 ← 966.97 m → N 78.586606°
W136.889649°		 →
↑
967.37 m
↓
↑
967.37 m
↓
N 78.577907°
W136.933594°		 ← 967.70 m →
935 773 m²		 N 78.577907°
W136.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11968994140625 y=0.13348388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11968994140625 × 213)
    floor (0.11968994140625 × 8192)
    floor (980.5)     		tx = 980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13348388671875 × 213)
    floor (0.13348388671875 × 8192)
    floor (1093.5)     		ty = 1093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 980 / 1093 ti = "13/980/1093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/980/1093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 980 ÷ 213
    980 ÷ 8192     		x = 0.11962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1093 ÷ 213
    1093 ÷ 8192     		y = 0.1334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    -0.7607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38994207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1334228515625 × 2 - 1) × π
    0.733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30327215294446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38994207} λ = -2.38994207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30327215294446))-π/2
    2×atan(10.0068729603016)-π/2
    2×1.4711956771402-π/2
    2.9423913542804-1.57079632675     		φ = 1.37159503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38994207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37159503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.586606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 980 KachelY 1093 -2.38994207 1.37159503 -136.933594 78.586606
    Oben rechts KachelX + 1 981 KachelY 1093 -2.38917508 1.37159503 -136.889649 78.586606
    Unten links KachelX 980 KachelY + 1 1094 -2.38994207 1.37144319 -136.933594 78.577907
    Unten rechts KachelX + 1 981 KachelY + 1 1094 -2.38917508 1.37144319 -136.889649 78.577907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37159503-1.37144319) × R
    0.000151840000000014 × 6371000     		dl = 967.37264000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37159503-1.37144319) × R
    0.000151840000000014 × 6371000     		dr = 967.37264000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38994207--2.38917508) × cos(1.37159503) × R
    0.000766990000000245 × 0.197886485193108 × 6371000     		do = 966.970982078117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38994207--2.38917508) × cos(1.37144319) × R
    0.000766990000000245 × 0.198035320266714 × 6371000     		du = 967.698263666611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37159503)-sin(1.37144319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197886485193108-0.198035320266714)×R²
    abs(-2.38917508--2.38994207)×0.000148835073606246×R²
    0.000766990000000245×0.000148835073606246×6371000²
    0.000766990000000245×0.000148835073606246×40589641000000     		ar = 935773.049691173m²