Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97997 / 101572
↖ ↑ ↗
← S 69.843408°
E 89.156799°		 ← 105.25 m → S 69.843408°
E 89.159546°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.844355°
E 89.156799°		 ← 105.24 m →
11 077 m²		 S 69.844355°
E 89.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747661590576172 y=0.774936676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747661590576172 × 217)
    floor (0.747661590576172 × 131072)
    floor (97997.5)     		tx = 97997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774936676025391 × 217)
    floor (0.774936676025391 × 131072)
    floor (101572.5)     		ty = 101572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97997 / 101572 ti = "17/97997/101572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97997/101572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97997 ÷ 217
    97997 ÷ 131072     		x = 0.747657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101572 ÷ 217
    101572 ÷ 131072     		y = 0.774932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747657775878906 × 2 - 1) × π
    0.495315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55607970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.54986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72745411470834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55607970} λ = 1.55607970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72745411470834))-π/2
    2×atan(0.17773633076682)-π/2
    2×0.175899447952945-π/2
    0.351798895905889-1.57079632675     		φ = -1.21899743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55607970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.156799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21899743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.843408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97997 KachelY 101572 1.55607970 -1.21899743 89.156799 -69.843408
    Oben rechts KachelX + 1 97998 KachelY 101572 1.55612764 -1.21899743 89.159546 -69.843408
    Unten links KachelX 97997 KachelY + 1 101573 1.55607970 -1.21901395 89.156799 -69.844355
    Unten rechts KachelX + 1 97998 KachelY + 1 101573 1.55612764 -1.21901395 89.159546 -69.844355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21899743--1.21901395) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21899743--1.21901395) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55607970-1.55612764) × cos(-1.21899743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		do = 105.24576582536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55607970-1.55612764) × cos(-1.21901395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34457157802385 × 6371000     		du = 105.241029200833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21899743)-sin(-1.21901395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344587086292822-0.34457157802385)×R²
    abs(1.55612764-1.55607970)×1.55082689727304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55082689727304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55082689727304e-05×40589641000000     		ar = 11076.7539255924m²