Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97993 / 101593
↖ ↑ ↗
← S 69.863274°
E 89.145813°		 ← 105.15 m → S 69.863274°
E 89.148560°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.864220°
E 89.145813°		 ← 105.14 m →
11 060 m²		 S 69.864220°
E 89.148560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747631072998047 y=0.775096893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747631072998047 × 217)
    floor (0.747631072998047 × 131072)
    floor (97993.5)     		tx = 97993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775096893310547 × 217)
    floor (0.775096893310547 × 131072)
    floor (101593.5)     		ty = 101593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97993 / 101593 ti = "17/97993/101593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97993/101593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97993 ÷ 217
    97993 ÷ 131072     		x = 0.747627258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101593 ÷ 217
    101593 ÷ 131072     		y = 0.775093078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747627258300781 × 2 - 1) × π
    0.495254516601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.55588795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775093078613281 × 2 - 1) × π
    -0.550186157226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72846078960036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55588795} λ = 1.55588795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72846078960036))-π/2
    2×atan(0.177557498093521)-π/2
    2×0.175726086300952-π/2
    0.351452172601904-1.57079632675     		φ = -1.21934415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55588795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.145813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21934415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.863274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97993 KachelY 101593 1.55588795 -1.21934415 89.145813 -69.863274
    Oben rechts KachelX + 1 97994 KachelY 101593 1.55593589 -1.21934415 89.148560 -69.863274
    Unten links KachelX 97993 KachelY + 1 101594 1.55588795 -1.21936066 89.145813 -69.864220
    Unten rechts KachelX + 1 97994 KachelY + 1 101594 1.55593589 -1.21936066 89.148560 -69.864220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21934415--1.21936066) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21934415--1.21936066) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55588795-1.55593589) × cos(-1.21934415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34426158067698 × 6371000     		do = 105.146348031767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55588795-1.55593589) × cos(-1.21936066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344246079824048 × 6371000     		du = 105.14161367229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21934415)-sin(-1.21936066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34426158067698-0.344246079824048)×R²
    abs(1.55593589-1.55588795)×1.55008529324485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55008529324485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55008529324485e-05×40589641000000     		ar = 11059.5917062741m²