Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97987 / 101310
↖ ↑ ↗
← S 69.593975°
E 89.129334°		 ← 106.49 m → S 69.593975°
E 89.132080°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.594932°
E 89.129334°		 ← 106.49 m →
11 337 m²		 S 69.594932°
E 89.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747585296630859 y=0.772937774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747585296630859 × 217)
    floor (0.747585296630859 × 131072)
    floor (97987.5)     		tx = 97987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772937774658203 × 217)
    floor (0.772937774658203 × 131072)
    floor (101310.5)     		ty = 101310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97987 / 101310 ti = "17/97987/101310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97987/101310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97987 ÷ 217
    97987 ÷ 131072     		x = 0.747581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101310 ÷ 217
    101310 ÷ 131072     		y = 0.772933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747581481933594 × 2 - 1) × π
    0.495162963867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.55560033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772933959960938 × 2 - 1) × π
    -0.545867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71489464700789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55560033} λ = 1.55560033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71489464700789))-π/2
    2×atan(0.179982681428327)-π/2
    2×0.178076163120809-π/2
    0.356152326241619-1.57079632675     		φ = -1.21464400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55560033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.129334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21464400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.593975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97987 KachelY 101310 1.55560033 -1.21464400 89.129334 -69.593975
    Oben rechts KachelX + 1 97988 KachelY 101310 1.55564827 -1.21464400 89.132080 -69.593975
    Unten links KachelX 97987 KachelY + 1 101311 1.55560033 -1.21466071 89.129334 -69.594932
    Unten rechts KachelX + 1 97988 KachelY + 1 101311 1.55564827 -1.21466071 89.132080 -69.594932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21464400--1.21466071) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21464400--1.21466071) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55560033-1.55564827) × cos(-1.21464400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34867060939474 × 6371000     		do = 106.49297889057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55560033-1.55564827) × cos(-1.21466071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34865494797662 × 6371000     		du = 106.488195490351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21464400)-sin(-1.21466071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34867060939474-0.34865494797662)×R²
    abs(1.55564827-1.55560033)×1.56614181201498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56614181201498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56614181201498e-05×40589641000000     		ar = 11336.9250831148m²