Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97985 / 101300
↖ ↑ ↗
← S 69.584396°
E 89.123841°		 ← 106.52 m → S 69.584396°
E 89.126587°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
S 69.585354°
E 89.123841°		 ← 106.51 m →
11 346 m²		 S 69.585354°
E 89.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747570037841797 y=0.772861480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747570037841797 × 217)
    floor (0.747570037841797 × 131072)
    floor (97985.5)     		tx = 97985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772861480712891 × 217)
    floor (0.772861480712891 × 131072)
    floor (101300.5)     		ty = 101300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97985 / 101300 ti = "17/97985/101300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97985/101300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97985 ÷ 217
    97985 ÷ 131072     		x = 0.747566223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101300 ÷ 217
    101300 ÷ 131072     		y = 0.772857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747566223144531 × 2 - 1) × π
    0.495132446289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55550446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.54571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71441527801169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55550446} λ = 1.55550446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71441527801169))-π/2
    2×atan(0.180068980228489)-π/2
    2×0.178159752836764-π/2
    0.356319505673528-1.57079632675     		φ = -1.21447682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55550446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.123841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21447682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.584396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97985 KachelY 101300 1.55550446 -1.21447682 89.123841 -69.584396
    Oben rechts KachelX + 1 97986 KachelY 101300 1.55555239 -1.21447682 89.126587 -69.584396
    Unten links KachelX 97985 KachelY + 1 101301 1.55550446 -1.21449354 89.123841 -69.585354
    Unten rechts KachelX + 1 97986 KachelY + 1 101301 1.55555239 -1.21449354 89.126587 -69.585354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21447682--1.21449354) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21447682--1.21449354) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55550446-1.55555239) × cos(-1.21447682) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.348827293195536 × 6371000     		do = 106.518610369166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55550446-1.55555239) × cos(-1.21449354) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.348811623379723 × 6371000     		du = 106.513825402399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21447682)-sin(-1.21449354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348827293195536-0.348811623379723)×R²
    abs(1.55555239-1.55550446)×1.56698158134128e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.56698158134128e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.56698158134128e-05×40589641000000     		ar = 11346.4398601727m²