Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97985 / 101055
↖ ↑ ↗
← S 69.348370°
E 89.123841°		 ← 107.70 m → S 69.348370°
E 89.126587°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.349338°
E 89.123841°		 ← 107.69 m →
11 595 m²		 S 69.349338°
E 89.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747570037841797 y=0.770992279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747570037841797 × 217)
    floor (0.747570037841797 × 131072)
    floor (97985.5)     		tx = 97985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770992279052734 × 217)
    floor (0.770992279052734 × 131072)
    floor (101055.5)     		ty = 101055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97985 / 101055 ti = "17/97985/101055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97985/101055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97985 ÷ 217
    97985 ÷ 131072     		x = 0.747566223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101055 ÷ 217
    101055 ÷ 131072     		y = 0.770988464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747566223144531 × 2 - 1) × π
    0.495132446289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55550446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770988464355469 × 2 - 1) × π
    -0.541976928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.70267073760477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55550446} λ = 1.55550446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70267073760477))-π/2
    2×atan(0.182196275241758)-π/2
    2×0.180219469856886-π/2
    0.360438939713772-1.57079632675     		φ = -1.21035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55550446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.123841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.348370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97985 KachelY 101055 1.55550446 -1.21035739 89.123841 -69.348370
    Oben rechts KachelX + 1 97986 KachelY 101055 1.55555239 -1.21035739 89.126587 -69.348370
    Unten links KachelX 97985 KachelY + 1 101056 1.55550446 -1.21037429 89.123841 -69.349338
    Unten rechts KachelX + 1 97986 KachelY + 1 101056 1.55555239 -1.21037429 89.126587 -69.349338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21035739--1.21037429) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21035739--1.21037429) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55550446-1.55555239) × cos(-1.21035739) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.352684998878491 × 6371000     		do = 107.696607207651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55550446-1.55555239) × cos(-1.21037429) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.352669184786511 × 6371000     		du = 107.691778184421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21035739)-sin(-1.21037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352684998878491-0.352669184786511)×R²
    abs(1.55555239-1.55550446)×1.5814091979649e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.5814091979649e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.5814091979649e-05×40589641000000     		ar = 11595.422958523m²