Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97983 / 102288
↖ ↑ ↗
← S 70.510241°
E 89.118347°		 ← 101.90 m → S 70.510241°
E 89.121094°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
S 70.511157°
E 89.118347°		 ← 101.90 m →
10 381 m²		 S 70.511157°
E 89.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747554779052734 y=0.780399322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747554779052734 × 217)
    floor (0.747554779052734 × 131072)
    floor (97983.5)     		tx = 97983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780399322509766 × 217)
    floor (0.780399322509766 × 131072)
    floor (102288.5)     		ty = 102288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97983 / 102288 ti = "17/97983/102288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97983/102288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97983 ÷ 217
    97983 ÷ 131072     		x = 0.747550964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102288 ÷ 217
    102288 ÷ 131072     		y = 0.7803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747550964355469 × 2 - 1) × π
    0.495101928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.55540858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55540858} λ = 1.55540858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7617769348363))-π/2
    2×atan(0.171739422765913)-π/2
    2×0.170080235241142-π/2
    0.340160470482285-1.57079632675     		φ = -1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55540858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.118347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97983 KachelY 102288 1.55540858 -1.23063586 89.118347 -70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 97984 KachelY 102288 1.55545652 -1.23063586 89.121094 -70.510241
    Unten links KachelX 97983 KachelY + 1 102289 1.55540858 -1.23065185 89.118347 -70.511157
    Unten rechts KachelX + 1 97984 KachelY + 1 102289 1.55545652 -1.23065185 89.121094 -70.511157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23063586--1.23065185) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dl = 101.872290000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23063586--1.23065185) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dr = 101.872290000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55540858-1.55545652) × cos(-1.23063586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 101.901745642181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55540858-1.55545652) × cos(-1.23065185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333623294832261 × 6371000     		du = 101.897141705315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23063586)-sin(-1.23065185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333623294832261)×R²
    abs(1.55545652-1.55540858)×1.50738338769441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50738338769441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50738338769441e-05×40589641000000     		ar = 10380.7296770625m²