Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97983 / 101486
↖ ↑ ↗
← S 69.761857°
E 89.118347°		 ← 105.65 m → S 69.761857°
E 89.121094°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.762807°
E 89.118347°		 ← 105.65 m →
11 167 m²		 S 69.762807°
E 89.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747554779052734 y=0.774280548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747554779052734 × 217)
    floor (0.747554779052734 × 131072)
    floor (97983.5)     		tx = 97983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774280548095703 × 217)
    floor (0.774280548095703 × 131072)
    floor (101486.5)     		ty = 101486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97983 / 101486 ti = "17/97983/101486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97983/101486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97983 ÷ 217
    97983 ÷ 131072     		x = 0.747550964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101486 ÷ 217
    101486 ÷ 131072     		y = 0.774276733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747550964355469 × 2 - 1) × π
    0.495101928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.55540858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774276733398438 × 2 - 1) × π
    -0.548553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72333154134102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55540858} λ = 1.55540858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72333154134102))-π/2
    2×atan(0.178470574276906)-π/2
    2×0.17661111670453-π/2
    0.35322223340906-1.57079632675     		φ = -1.21757409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55540858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.118347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21757409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.761857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97983 KachelY 101486 1.55540858 -1.21757409 89.118347 -69.761857
    Oben rechts KachelX + 1 97984 KachelY 101486 1.55545652 -1.21757409 89.121094 -69.761857
    Unten links KachelX 97983 KachelY + 1 101487 1.55540858 -1.21759068 89.118347 -69.762807
    Unten rechts KachelX + 1 97984 KachelY + 1 101487 1.55545652 -1.21759068 89.121094 -69.762807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21757409--1.21759068) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21757409--1.21759068) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55540858-1.55545652) × cos(-1.21757409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345922903417145 × 6371000     		do = 105.653758759061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55540858-1.55545652) × cos(-1.21759068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345907337587365 × 6371000     		du = 105.649004553981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21757409)-sin(-1.21759068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345922903417145-0.345907337587365)×R²
    abs(1.55545652-1.55540858)×1.55658297804617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55658297804617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55658297804617e-05×40589641000000     		ar = 11166.8111628227m²