Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97982 / 101488
↖ ↑ ↗
← S 69.763757°
E 89.115601°		 ← 105.62 m → S 69.763757°
E 89.118347°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.764707°
E 89.115601°		 ← 105.62 m →
11 157 m²		 S 69.764707°
E 89.118347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747547149658203 y=0.774295806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747547149658203 × 217)
    floor (0.747547149658203 × 131072)
    floor (97982.5)     		tx = 97982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774295806884766 × 217)
    floor (0.774295806884766 × 131072)
    floor (101488.5)     		ty = 101488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97982 / 101488 ti = "17/97982/101488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97982/101488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97982 ÷ 217
    97982 ÷ 131072     		x = 0.747543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101488 ÷ 217
    101488 ÷ 131072     		y = 0.7742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747543334960938 × 2 - 1) × π
    0.495086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55536065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72342741514026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55536065} λ = 1.55536065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72342741514026))-π/2
    2×atan(0.178453464445103)-π/2
    2×0.176594534979002-π/2
    0.353189069958005-1.57079632675     		φ = -1.21760726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55536065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.115601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21760726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.763757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97982 KachelY 101488 1.55536065 -1.21760726 89.115601 -69.763757
    Oben rechts KachelX + 1 97983 KachelY 101488 1.55540858 -1.21760726 89.118347 -69.763757
    Unten links KachelX 97982 KachelY + 1 101489 1.55536065 -1.21762384 89.115601 -69.764707
    Unten rechts KachelX + 1 97983 KachelY + 1 101489 1.55540858 -1.21762384 89.118347 -69.764707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21760726--1.21762384) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dl = 105.631179998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21760726--1.21762384) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dr = 105.631179998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55536065-1.55540858) × cos(-1.21760726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345891781045125 × 6371000     		do = 105.622216420319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55536065-1.55540858) × cos(-1.21762384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345876224407801 × 6371000     		du = 105.617466013966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21760726)-sin(-1.21762384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345891781045125-0.345876224407801)×R²
    abs(1.55540858-1.55536065)×1.5556637323999e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5556637323999e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5556637323999e-05×40589641000000     		ar = 11156.748459466m²