Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97980 / 101484
↖ ↑ ↗
← S 69.759957°
E 89.110107°		 ← 105.66 m → S 69.759957°
E 89.112854°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.760907°
E 89.110107°		 ← 105.66 m →
11 161 m²		 S 69.760907°
E 89.112854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747531890869141 y=0.774265289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747531890869141 × 217)
    floor (0.747531890869141 × 131072)
    floor (97980.5)     		tx = 97980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774265289306641 × 217)
    floor (0.774265289306641 × 131072)
    floor (101484.5)     		ty = 101484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97980 / 101484 ti = "17/97980/101484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97980/101484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97980 ÷ 217
    97980 ÷ 131072     		x = 0.747528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101484 ÷ 217
    101484 ÷ 131072     		y = 0.774261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747528076171875 × 2 - 1) × π
    0.49505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55526477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.54852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72323566754178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55526477} λ = 1.55526477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72323566754178))-π/2
    2×atan(0.178487685749172)-π/2
    2×0.176627699921731-π/2
    0.353255399843462-1.57079632675     		φ = -1.21754093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55526477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21754093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.759957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97980 KachelY 101484 1.55526477 -1.21754093 89.110107 -69.759957
    Oben rechts KachelX + 1 97981 KachelY 101484 1.55531271 -1.21754093 89.112854 -69.759957
    Unten links KachelX 97980 KachelY + 1 101485 1.55526477 -1.21755751 89.110107 -69.760907
    Unten rechts KachelX + 1 97981 KachelY + 1 101485 1.55531271 -1.21755751 89.112854 -69.760907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21754093--1.21755751) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21754093--1.21755751) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55526477-1.55531271) × cos(-1.21754093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345954016026049 × 6371000     		do = 105.663261350659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55526477-1.55531271) × cos(-1.21755751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345938459769146 × 6371000     		du = 105.658510069382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21754093)-sin(-1.21755751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345954016026049-0.345938459769146)×R²
    abs(1.55531271-1.55526477)×1.55562569035816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55562569035816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55562569035816e-05×40589641000000     		ar = 11161.0840377129m²