Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97975 / 101051
↖ ↑ ↗
← S 69.344495°
E 89.096375°		 ← 107.72 m → S 69.344495°
E 89.099121°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
S 69.345464°
E 89.096375°		 ← 107.71 m →
11 604 m²		 S 69.345464°
E 89.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747493743896484 y=0.770961761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747493743896484 × 217)
    floor (0.747493743896484 × 131072)
    floor (97975.5)     		tx = 97975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770961761474609 × 217)
    floor (0.770961761474609 × 131072)
    floor (101051.5)     		ty = 101051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97975 / 101051 ti = "17/97975/101051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97975/101051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97975 ÷ 217
    97975 ÷ 131072     		x = 0.747489929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101051 ÷ 217
    101051 ÷ 131072     		y = 0.770957946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747489929199219 × 2 - 1) × π
    0.494979858398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.55502509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770957946777344 × 2 - 1) × π
    -0.541915893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70247899000629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55502509} λ = 1.55502509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70247899000629))-π/2
    2×atan(0.18223121428962)-π/2
    2×0.180253286141574-π/2
    0.360506572283149-1.57079632675     		φ = -1.21028975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55502509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.096375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21028975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.344495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97975 KachelY 101051 1.55502509 -1.21028975 89.096375 -69.344495
    Oben rechts KachelX + 1 97976 KachelY 101051 1.55507302 -1.21028975 89.099121 -69.344495
    Unten links KachelX 97975 KachelY + 1 101052 1.55502509 -1.21030666 89.096375 -69.345464
    Unten rechts KachelX + 1 97976 KachelY + 1 101052 1.55507302 -1.21030666 89.099121 -69.345464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21028975--1.21030666) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21028975--1.21030666) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55502509-1.55507302) × cos(-1.21028975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352748291667791 × 6371000     		do = 107.715934422775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55502509-1.55507302) × cos(-1.21030666) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352732468621756 × 6371000     		du = 107.711102665317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21028975)-sin(-1.21030666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352748291667791-0.352732468621756)×R²
    abs(1.55507302-1.55502509)×1.5823046034702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5823046034702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5823046034702e-05×40589641000000     		ar = 11604.3661988445m²