Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97973 / 101523
↖ ↑ ↗
← S 69.796981°
E 89.090881°		 ← 105.48 m → S 69.796981°
E 89.093628°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.797930°
E 89.090881°		 ← 105.47 m →
11 128 m²		 S 69.797930°
E 89.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747478485107422 y=0.774562835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747478485107422 × 217)
    floor (0.747478485107422 × 131072)
    floor (97973.5)     		tx = 97973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774562835693359 × 217)
    floor (0.774562835693359 × 131072)
    floor (101523.5)     		ty = 101523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97973 / 101523 ti = "17/97973/101523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97973/101523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97973 ÷ 217
    97973 ÷ 131072     		x = 0.747474670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101523 ÷ 217
    101523 ÷ 131072     		y = 0.774559020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747474670410156 × 2 - 1) × π
    0.494949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.55492921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774559020996094 × 2 - 1) × π
    -0.549118041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72510520662696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55492921} λ = 1.55492921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72510520662696))-π/2
    2×atan(0.17815430777312)-π/2
    2×0.176304596124929-π/2
    0.352609192249859-1.57079632675     		φ = -1.21818713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55492921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.090881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21818713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.796981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97973 KachelY 101523 1.55492921 -1.21818713 89.090881 -69.796981
    Oben rechts KachelX + 1 97974 KachelY 101523 1.55497715 -1.21818713 89.093628 -69.796981
    Unten links KachelX 97973 KachelY + 1 101524 1.55492921 -1.21820369 89.090881 -69.797930
    Unten rechts KachelX + 1 97974 KachelY + 1 101524 1.55497715 -1.21820369 89.093628 -69.797930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21818713--1.21820369) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21818713--1.21820369) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55492921-1.55497715) × cos(-1.21818713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345347645738301 × 6371000     		do = 105.478060256809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55492921-1.55497715) × cos(-1.21820369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34533210454779 × 6371000     		du = 105.473313577197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21818713)-sin(-1.21820369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345347645738301-0.34533210454779)×R²
    abs(1.55497715-1.55492921)×1.55411905108371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55411905108371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55411905108371e-05×40589641000000     		ar = 11128.0815584769m²