Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97965 / 101101
↖ ↑ ↗
← S 69.392883°
E 89.068909°		 ← 107.47 m → S 69.392883°
E 89.071655°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
S 69.393850°
E 89.068909°		 ← 107.47 m →
11 551 m²		 S 69.393850°
E 89.071655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747417449951172 y=0.771343231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747417449951172 × 217)
    floor (0.747417449951172 × 131072)
    floor (97965.5)     		tx = 97965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771343231201172 × 217)
    floor (0.771343231201172 × 131072)
    floor (101101.5)     		ty = 101101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97965 / 101101 ti = "17/97965/101101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97965/101101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97965 ÷ 217
    97965 ÷ 131072     		x = 0.747413635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101101 ÷ 217
    101101 ÷ 131072     		y = 0.771339416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747413635253906 × 2 - 1) × π
    0.494827270507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55454572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771339416503906 × 2 - 1) × π
    -0.542678833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.7048758349873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55454572} λ = 1.55454572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7048758349873))-π/2
    2×atan(0.181794957347252)-π/2
    2×0.179831018412729-π/2
    0.359662036825458-1.57079632675     		φ = -1.21113429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55454572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.068909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21113429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.392883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97965 KachelY 101101 1.55454572 -1.21113429 89.068909 -69.392883
    Oben rechts KachelX + 1 97966 KachelY 101101 1.55459365 -1.21113429 89.071655 -69.392883
    Unten links KachelX 97965 KachelY + 1 101102 1.55454572 -1.21115116 89.068909 -69.393850
    Unten rechts KachelX + 1 97966 KachelY + 1 101102 1.55459365 -1.21115116 89.071655 -69.393850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21113429--1.21115116) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dl = 107.478770000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21113429--1.21115116) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dr = 107.478770000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55454572-1.55459365) × cos(-1.21113429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351957914472707 × 6371000     		do = 107.474583238018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55454572-1.55459365) × cos(-1.21115116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351942123835641 × 6371000     		du = 107.469761377029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21113429)-sin(-1.21115116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351957914472707-0.351942123835641)×R²
    abs(1.55459365-1.55454572)×1.57906370662486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57906370662486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57906370662486e-05×40589641000000     		ar = 11550.9768891849m²