Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97960 / 101078
↖ ↑ ↗
← S 69.370638°
E 89.055176°		 ← 107.61 m → S 69.370638°
E 89.057922°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
S 69.371606°
E 89.055176°		 ← 107.60 m →
11 579 m²		 S 69.371606°
E 89.057922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747379302978516 y=0.771167755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747379302978516 × 217)
    floor (0.747379302978516 × 131072)
    floor (97960.5)     		tx = 97960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771167755126953 × 217)
    floor (0.771167755126953 × 131072)
    floor (101078.5)     		ty = 101078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97960 / 101078 ti = "17/97960/101078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97960/101078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97960 ÷ 217
    97960 ÷ 131072     		x = 0.74737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101078 ÷ 217
    101078 ÷ 131072     		y = 0.771163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74737548828125 × 2 - 1) × π
    0.4947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55430603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771163940429688 × 2 - 1) × π
    -0.542327880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70377328629604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55430603} λ = 1.55430603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70377328629604))-π/2
    2×atan(0.181995505676386)-π/2
    2×0.180025143928693-π/2
    0.360050287857385-1.57079632675     		φ = -1.21074604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55430603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21074604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.370638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97960 KachelY 101078 1.55430603 -1.21074604 89.055176 -69.370638
    Oben rechts KachelX + 1 97961 KachelY 101078 1.55435397 -1.21074604 89.057922 -69.370638
    Unten links KachelX 97960 KachelY + 1 101079 1.55430603 -1.21076293 89.055176 -69.371606
    Unten rechts KachelX + 1 97961 KachelY + 1 101079 1.55435397 -1.21076293 89.057922 -69.371606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21074604--1.21076293) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21074604--1.21076293) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55430603-1.55435397) × cos(-1.21074604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352321296081278 × 6371000     		do = 107.607992573313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55430603-1.55435397) × cos(-1.21076293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352305489032895 × 6371000     		du = 107.603164693863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21074604)-sin(-1.21076293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352321296081278-0.352305489032895)×R²
    abs(1.55435397-1.55430603)×1.58070483828321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58070483828321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58070483828321e-05×40589641000000     		ar = 11579.0263397377m²