Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97952 / 101026
↖ ↑ ↗
← S 69.320260°
E 89.033203°		 ← 107.84 m → S 69.320260°
E 89.035949°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
S 69.321230°
E 89.033203°		 ← 107.83 m →
11 624 m²		 S 69.321230°
E 89.035949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747318267822266 y=0.770771026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747318267822266 × 217)
    floor (0.747318267822266 × 131072)
    floor (97952.5)     		tx = 97952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770771026611328 × 217)
    floor (0.770771026611328 × 131072)
    floor (101026.5)     		ty = 101026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97952 / 101026 ti = "17/97952/101026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97952/101026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97952 ÷ 217
    97952 ÷ 131072     		x = 0.747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101026 ÷ 217
    101026 ÷ 131072     		y = 0.770767211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747314453125 × 2 - 1) × π
    0.49462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55392254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770767211914062 × 2 - 1) × π
    -0.541534423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70128056751579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55392254} λ = 1.55392254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70128056751579))-π/2
    2×atan(0.182449735189322)-π/2
    2×0.180464775434236-π/2
    0.360929550868472-1.57079632675     		φ = -1.20986678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55392254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20986678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.320260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97952 KachelY 101026 1.55392254 -1.20986678 89.033203 -69.320260
    Oben rechts KachelX + 1 97953 KachelY 101026 1.55397047 -1.20986678 89.035949 -69.320260
    Unten links KachelX 97952 KachelY + 1 101027 1.55392254 -1.20988370 89.033203 -69.321230
    Unten rechts KachelX + 1 97953 KachelY + 1 101027 1.55397047 -1.20988370 89.035949 -69.321230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20986678--1.20988370) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20986678--1.20988370) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55392254-1.55397047) × cos(-1.20986678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353144040850071 × 6371000     		do = 107.836781196446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55392254-1.55397047) × cos(-1.20988370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35312821097265 × 6371000     		du = 107.831947352943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20986678)-sin(-1.20988370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353144040850071-0.35312821097265)×R²
    abs(1.55397047-1.55392254)×1.58298774203258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58298774203258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58298774203258e-05×40589641000000     		ar = 11624.2554728853m²