Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97950 / 101029
↖ ↑ ↗
← S 69.323170°
E 89.027710°		 ← 107.84 m → S 69.323170°
E 89.030456°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
S 69.324139°
E 89.027710°		 ← 107.84 m →
11 625 m²		 S 69.324139°
E 89.030456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747303009033203 y=0.770793914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747303009033203 × 217)
    floor (0.747303009033203 × 131072)
    floor (97950.5)     		tx = 97950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770793914794922 × 217)
    floor (0.770793914794922 × 131072)
    floor (101029.5)     		ty = 101029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97950 / 101029 ti = "17/97950/101029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97950/101029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97950 ÷ 217
    97950 ÷ 131072     		x = 0.747299194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101029 ÷ 217
    101029 ÷ 131072     		y = 0.770790100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747299194335938 × 2 - 1) × π
    0.494598388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55382666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770790100097656 × 2 - 1) × π
    -0.541580200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70142437821465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55382666} λ = 1.55382666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70142437821465))-π/2
    2×atan(0.182423498851976)-π/2
    2×0.180439384196485-π/2
    0.360878768392969-1.57079632675     		φ = -1.20991756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55382666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.027710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20991756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.323170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97950 KachelY 101029 1.55382666 -1.20991756 89.027710 -69.323170
    Oben rechts KachelX + 1 97951 KachelY 101029 1.55387460 -1.20991756 89.030456 -69.323170
    Unten links KachelX 97950 KachelY + 1 101030 1.55382666 -1.20993448 89.027710 -69.324139
    Unten rechts KachelX + 1 97951 KachelY + 1 101030 1.55387460 -1.20993448 89.030456 -69.324139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20991756--1.20993448) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20991756--1.20993448) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55382666-1.55387460) × cos(-1.20991756) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353096532202789 × 6371000     		do = 107.844769639899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55382666-1.55387460) × cos(-1.20993448) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		du = 107.83993469521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20991756)-sin(-1.20993448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353096532202789-0.353080702021975)×R²
    abs(1.55387460-1.55382666)×1.58301808136918e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58301808136918e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58301808136918e-05×40589641000000     		ar = 11625.1165463327m²