Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97945 / 101002
↖ ↑ ↗
← S 69.296969°
E 89.013977°		 ← 107.98 m → S 69.296969°
E 89.016724°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.297940°
E 89.013977°		 ← 107.97 m →
11 660 m²		 S 69.297940°
E 89.016724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747264862060547 y=0.770587921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747264862060547 × 217)
    floor (0.747264862060547 × 131072)
    floor (97945.5)     		tx = 97945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770587921142578 × 217)
    floor (0.770587921142578 × 131072)
    floor (101002.5)     		ty = 101002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97945 / 101002 ti = "17/97945/101002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97945/101002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97945 ÷ 217
    97945 ÷ 131072     		x = 0.747261047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101002 ÷ 217
    101002 ÷ 131072     		y = 0.770584106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747261047363281 × 2 - 1) × π
    0.494522094726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.55358698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    -0.541168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70013008192491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55358698} λ = 1.55358698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70013008192491))-π/2
    2×atan(0.182659761773831)-π/2
    2×0.180668028362984-π/2
    0.361336056725967-1.57079632675     		φ = -1.20946027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55358698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.013977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20946027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.296969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97945 KachelY 101002 1.55358698 -1.20946027 89.013977 -69.296969
    Oben rechts KachelX + 1 97946 KachelY 101002 1.55363492 -1.20946027 89.016724 -69.296969
    Unten links KachelX 97945 KachelY + 1 101003 1.55358698 -1.20947722 89.013977 -69.297940
    Unten rechts KachelX + 1 97946 KachelY + 1 101003 1.55363492 -1.20947722 89.016724 -69.297940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20946027--1.20947722) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20946027--1.20947722) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55358698-1.55363492) × cos(-1.20946027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353524329800561 × 6371000     		do = 107.97543003727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55358698-1.55363492) × cos(-1.20947722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353508474290432 × 6371000     		du = 107.970587356355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20946027)-sin(-1.20947722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353524329800561-0.353508474290432)×R²
    abs(1.55363492-1.55358698)×1.58555101290592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58555101290592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58555101290592e-05×40589641000000     		ar = 11659.8378512046m²