Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97944 / 101064
↖ ↑ ↗
← S 69.357087°
E 89.011230°		 ← 107.68 m → S 69.357087°
E 89.013977°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.358055°
E 89.011230°		 ← 107.67 m →
11 593 m²		 S 69.358055°
E 89.013977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747257232666016 y=0.771060943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747257232666016 × 217)
    floor (0.747257232666016 × 131072)
    floor (97944.5)     		tx = 97944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771060943603516 × 217)
    floor (0.771060943603516 × 131072)
    floor (101064.5)     		ty = 101064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97944 / 101064 ti = "17/97944/101064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97944/101064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97944 ÷ 217
    97944 ÷ 131072     		x = 0.74725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101064 ÷ 217
    101064 ÷ 131072     		y = 0.77105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74725341796875 × 2 - 1) × π
    0.4945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55353904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.5421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70310216970136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55353904} λ = 1.55353904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70310216970136))-π/2
    2×atan(0.182117686874732)-π/2
    2×0.180143405397334-π/2
    0.360286810794669-1.57079632675     		φ = -1.21050952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55353904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21050952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.357087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97944 KachelY 101064 1.55353904 -1.21050952 89.011230 -69.357087
    Oben rechts KachelX + 1 97945 KachelY 101064 1.55358698 -1.21050952 89.013977 -69.357087
    Unten links KachelX 97944 KachelY + 1 101065 1.55353904 -1.21052642 89.011230 -69.358055
    Unten rechts KachelX + 1 97945 KachelY + 1 101065 1.55358698 -1.21052642 89.013977 -69.358055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21050952--1.21052642) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21050952--1.21052642) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55353904-1.55358698) × cos(-1.21050952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352542640351052 × 6371000     		do = 107.675596810703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55353904-1.55358698) × cos(-1.21052642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352526825352524 × 6371000     		du = 107.670766503075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21050952)-sin(-1.21052642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352542640351052-0.352526825352524)×R²
    abs(1.55358698-1.55353904)×1.5814998528374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5814998528374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5814998528374e-05×40589641000000     		ar = 11593.1607019127m²