Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97941 / 100923
↖ ↑ ↗
← S 69.220125°
E 89.002991°		 ← 108.36 m → S 69.220125°
E 89.005737°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.221100°
E 89.002991°		 ← 108.35 m →
11 743 m²		 S 69.221100°
E 89.005737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747234344482422 y=0.769985198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747234344482422 × 217)
    floor (0.747234344482422 × 131072)
    floor (97941.5)     		tx = 97941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769985198974609 × 217)
    floor (0.769985198974609 × 131072)
    floor (100923.5)     		ty = 100923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97941 / 100923 ti = "17/97941/100923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97941/100923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97941 ÷ 217
    97941 ÷ 131072     		x = 0.747230529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100923 ÷ 217
    100923 ÷ 131072     		y = 0.769981384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747230529785156 × 2 - 1) × π
    0.494461059570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.55339523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769981384277344 × 2 - 1) × π
    -0.539962768554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.69634306685493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55339523} λ = 1.55339523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69634306685493))-π/2
    2×atan(0.18335280850528)-π/2
    2×0.181338616211975-π/2
    0.362677232423951-1.57079632675     		φ = -1.20811909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55339523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.002991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20811909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.220125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97941 KachelY 100923 1.55339523 -1.20811909 89.002991 -69.220125
    Oben rechts KachelX + 1 97942 KachelY 100923 1.55344317 -1.20811909 89.005737 -69.220125
    Unten links KachelX 97941 KachelY + 1 100924 1.55339523 -1.20813610 89.002991 -69.221100
    Unten rechts KachelX + 1 97942 KachelY + 1 100924 1.55344317 -1.20813610 89.005737 -69.221100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20811909--1.20813610) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dl = 108.370709999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20811909--1.20813610) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dr = 108.370709999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55339523-1.55344317) × cos(-1.20811909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35477858521537 × 6371000     		do = 108.358511925486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55339523-1.55344317) × cos(-1.20813610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354762681658605 × 6371000     		du = 108.353654569893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20811909)-sin(-1.20813610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35477858521537-0.354762681658605)×R²
    abs(1.55344317-1.55339523)×1.59035567648402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59035567648402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59035567648402e-05×40589641000000     		ar = 11742.625674477m²