Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97940 / 100922
↖ ↑ ↗
← S 69.219151°
E 89.000244°		 ← 108.34 m → S 69.219151°
E 89.002991°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 69.220125°
E 89.000244°		 ← 108.34 m →
11 734 m²		 S 69.220125°
E 89.002991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747226715087891 y=0.769977569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747226715087891 × 217)
    floor (0.747226715087891 × 131072)
    floor (97940.5)     		tx = 97940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769977569580078 × 217)
    floor (0.769977569580078 × 131072)
    floor (100922.5)     		ty = 100922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97940 / 100922 ti = "17/97940/100922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97940/100922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97940 ÷ 217
    97940 ÷ 131072     		x = 0.747222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100922 ÷ 217
    100922 ÷ 131072     		y = 0.769973754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747222900390625 × 2 - 1) × π
    0.49444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55334730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769973754882812 × 2 - 1) × π
    -0.539947509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69629512995531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55334730} λ = 1.55334730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69629512995531))-π/2
    2×atan(0.183361598081128)-π/2
    2×0.181347119895151-π/2
    0.362694239790301-1.57079632675     		φ = -1.20810209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55334730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20810209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.219151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97940 KachelY 100922 1.55334730 -1.20810209 89.000244 -69.219151
    Oben rechts KachelX + 1 97941 KachelY 100922 1.55339523 -1.20810209 89.002991 -69.219151
    Unten links KachelX 97940 KachelY + 1 100923 1.55334730 -1.20811909 89.000244 -69.220125
    Unten rechts KachelX + 1 97941 KachelY + 1 100923 1.55339523 -1.20811909 89.002991 -69.220125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20810209--1.20811909) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20810209--1.20811909) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55334730-1.55339523) × cos(-1.20810209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35479447932004 × 6371000     		do = 108.340762438027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55334730-1.55339523) × cos(-1.20811909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35477858521537 × 6371000     		du = 108.33590898196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20810209)-sin(-1.20811909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35479447932004-0.35477858521537)×R²
    abs(1.55339523-1.55334730)×1.58941046703442e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58941046703442e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58941046703442e-05×40589641000000     		ar = 11733.800126266m²