Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97938 / 100976
↖ ↑ ↗
← S 69.271708°
E 88.994751°		 ← 108.10 m → S 69.271708°
E 88.997498°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
S 69.272681°
E 88.994751°		 ← 108.10 m →
11 687 m²		 S 69.272681°
E 88.997498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747211456298828 y=0.770389556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747211456298828 × 217)
    floor (0.747211456298828 × 131072)
    floor (97938.5)     		tx = 97938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770389556884766 × 217)
    floor (0.770389556884766 × 131072)
    floor (100976.5)     		ty = 100976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97938 / 100976 ti = "17/97938/100976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97938/100976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97938 ÷ 217
    97938 ÷ 131072     		x = 0.747207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100976 ÷ 217
    100976 ÷ 131072     		y = 0.7703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747207641601562 × 2 - 1) × π
    0.494415283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55325142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55325142} λ = 1.55325142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69888372253479))-π/2
    2×atan(0.182887563414984)-π/2
    2×0.180888466016382-π/2
    0.361776932032763-1.57079632675     		φ = -1.20901939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55325142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20901939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.271708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97938 KachelY 100976 1.55325142 -1.20901939 88.994751 -69.271708
    Oben rechts KachelX + 1 97939 KachelY 100976 1.55329936 -1.20901939 88.997498 -69.271708
    Unten links KachelX 97938 KachelY + 1 100977 1.55325142 -1.20903636 88.994751 -69.272681
    Unten rechts KachelX + 1 97939 KachelY + 1 100977 1.55329936 -1.20903636 88.997498 -69.272681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20901939--1.20903636) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20901939--1.20903636) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55325142-1.55329936) × cos(-1.20901939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35393670574857 × 6371000     		do = 108.101380266348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55325142-1.55329936) × cos(-1.20903636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353920834176273 × 6371000     		du = 108.096532679634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20901939)-sin(-1.20903636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35393670574857-0.353920834176273)×R²
    abs(1.55329936-1.55325142)×1.58715722975433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58715722975433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58715722975433e-05×40589641000000     		ar = 11687.2127253778m²