Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97938 / 100974
↖ ↑ ↗
← S 69.269764°
E 88.994751°		 ← 108.11 m → S 69.269764°
E 88.997498°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
S 69.270737°
E 88.994751°		 ← 108.11 m →
11 688 m²		 S 69.270737°
E 88.997498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747211456298828 y=0.770374298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747211456298828 × 217)
    floor (0.747211456298828 × 131072)
    floor (97938.5)     		tx = 97938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770374298095703 × 217)
    floor (0.770374298095703 × 131072)
    floor (100974.5)     		ty = 100974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97938 / 100974 ti = "17/97938/100974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97938/100974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97938 ÷ 217
    97938 ÷ 131072     		x = 0.747207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100974 ÷ 217
    100974 ÷ 131072     		y = 0.770370483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747207641601562 × 2 - 1) × π
    0.494415283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55325142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770370483398438 × 2 - 1) × π
    -0.540740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69878784873555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55325142} λ = 1.55325142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69878784873555))-π/2
    2×atan(0.18290509838108)-π/2
    2×0.180905433405203-π/2
    0.361810866810406-1.57079632675     		φ = -1.20898546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55325142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20898546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.269764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97938 KachelY 100974 1.55325142 -1.20898546 88.994751 -69.269764
    Oben rechts KachelX + 1 97939 KachelY 100974 1.55329936 -1.20898546 88.997498 -69.269764
    Unten links KachelX 97938 KachelY + 1 100975 1.55325142 -1.20900243 88.994751 -69.270737
    Unten rechts KachelX + 1 97939 KachelY + 1 100975 1.55329936 -1.20900243 88.997498 -69.270737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20898546--1.20900243) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20898546--1.20900243) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55325142-1.55329936) × cos(-1.20898546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353968439234806 × 6371000     		do = 108.111072489865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55325142-1.55329936) × cos(-1.20900243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353952567866307 × 6371000     		du = 108.106224965396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20898546)-sin(-1.20900243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353968439234806-0.353952567866307)×R²
    abs(1.55329936-1.55325142)×1.58713684987877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58713684987877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58713684987877e-05×40589641000000     		ar = 11688.2606119524m²