Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97937 / 100973
↖ ↑ ↗
← S 69.268792°
E 88.992004°		 ← 108.12 m → S 69.268792°
E 88.994751°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
S 69.269764°
E 88.992004°		 ← 108.11 m →
11 689 m²		 S 69.269764°
E 88.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747203826904297 y=0.770366668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747203826904297 × 217)
    floor (0.747203826904297 × 131072)
    floor (97937.5)     		tx = 97937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770366668701172 × 217)
    floor (0.770366668701172 × 131072)
    floor (100973.5)     		ty = 100973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97937 / 100973 ti = "17/97937/100973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97937/100973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97937 ÷ 217
    97937 ÷ 131072     		x = 0.747200012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100973 ÷ 217
    100973 ÷ 131072     		y = 0.770362854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747200012207031 × 2 - 1) × π
    0.494400024414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.55320348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770362854003906 × 2 - 1) × π
    -0.540725708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.69873991183593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55320348} λ = 1.55320348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69873991183593))-π/2
    2×atan(0.182913866494578)-π/2
    2×0.180913917670161-π/2
    0.361827835340322-1.57079632675     		φ = -1.20896849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55320348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.992004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20896849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.268792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97937 KachelY 100973 1.55320348 -1.20896849 88.992004 -69.268792
    Oben rechts KachelX + 1 97938 KachelY 100973 1.55325142 -1.20896849 88.994751 -69.268792
    Unten links KachelX 97937 KachelY + 1 100974 1.55320348 -1.20898546 88.992004 -69.269764
    Unten rechts KachelX + 1 97938 KachelY + 1 100974 1.55325142 -1.20898546 88.994751 -69.269764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20896849--1.20898546) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20896849--1.20898546) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55320348-1.55325142) × cos(-1.20896849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353984310501368 × 6371000     		do = 108.115919983199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55320348-1.55325142) × cos(-1.20898546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353968439234806 × 6371000     		du = 108.111072489865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20896849)-sin(-1.20898546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353984310501368-0.353968439234806)×R²
    abs(1.55325142-1.55320348)×1.5871266562828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5871266562828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5871266562828e-05×40589641000000     		ar = 11688.7847047358m²