Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97936 / 100978
↖ ↑ ↗
← S 69.273653°
E 88.989258°		 ← 108.07 m → S 69.273653°
E 88.992004°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.274625°
E 88.989258°		 ← 108.06 m →
11 677 m²		 S 69.274625°
E 88.992004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747196197509766 y=0.770404815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747196197509766 × 217)
    floor (0.747196197509766 × 131072)
    floor (97936.5)     		tx = 97936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770404815673828 × 217)
    floor (0.770404815673828 × 131072)
    floor (100978.5)     		ty = 100978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97936 / 100978 ti = "17/97936/100978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97936/100978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97936 ÷ 217
    97936 ÷ 131072     		x = 0.7471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100978 ÷ 217
    100978 ÷ 131072     		y = 0.770401000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7471923828125 × 2 - 1) × π
    0.494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55315555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770401000976562 × 2 - 1) × π
    -0.540802001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69897959633403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55315555} λ = 1.55315555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69897959633403))-π/2
    2×atan(0.18287003012995)-π/2
    2×0.180871500148921-π/2
    0.361743000297841-1.57079632675     		φ = -1.20905333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55315555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20905333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.273653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97936 KachelY 100978 1.55315555 -1.20905333 88.989258 -69.273653
    Oben rechts KachelX + 1 97937 KachelY 100978 1.55320348 -1.20905333 88.992004 -69.273653
    Unten links KachelX 97936 KachelY + 1 100979 1.55315555 -1.20907029 88.989258 -69.274625
    Unten rechts KachelX + 1 97937 KachelY + 1 100979 1.55320348 -1.20907029 88.992004 -69.274625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20905333--1.20907029) × R
    1.69600000001768e-05 × 6371000     		dl = 108.052160001127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20905333--1.20907029) × R
    1.69600000001768e-05 × 6371000     		dr = 108.052160001127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55315555-1.55320348) × cos(-1.20905333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353904962502053 × 6371000     		do = 108.069137776767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55315555-1.55320348) × cos(-1.20907029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353889100078789 × 6371000     		du = 108.064293994998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20905333)-sin(-1.20907029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353904962502053-0.353889100078789)×R²
    abs(1.55320348-1.55315555)×1.5862423263957e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5862423263957e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5862423263957e-05×40589641000000     		ar = 11676.8420761504m²