Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97935 / 101081
↖ ↑ ↗
← S 69.373541°
E 88.986511°		 ← 107.59 m → S 69.373541°
E 88.989258°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
S 69.374508°
E 88.986511°		 ← 107.59 m →
11 577 m²		 S 69.374508°
E 88.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747188568115234 y=0.771190643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747188568115234 × 217)
    floor (0.747188568115234 × 131072)
    floor (97935.5)     		tx = 97935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771190643310547 × 217)
    floor (0.771190643310547 × 131072)
    floor (101081.5)     		ty = 101081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97935 / 101081 ti = "17/97935/101081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97935/101081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97935 ÷ 217
    97935 ÷ 131072     		x = 0.747184753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101081 ÷ 217
    101081 ÷ 131072     		y = 0.771186828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747184753417969 × 2 - 1) × π
    0.494369506835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.55310761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771186828613281 × 2 - 1) × π
    -0.542373657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.7039170969949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55310761} λ = 1.55310761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7039170969949))-π/2
    2×atan(0.181969334657407)-π/2
    2×0.179999811847479-π/2
    0.359999623694958-1.57079632675     		φ = -1.21079670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55310761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.986511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21079670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.373541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97935 KachelY 101081 1.55310761 -1.21079670 88.986511 -69.373541
    Oben rechts KachelX + 1 97936 KachelY 101081 1.55315555 -1.21079670 88.989258 -69.373541
    Unten links KachelX 97935 KachelY + 1 101082 1.55310761 -1.21081359 88.986511 -69.374508
    Unten rechts KachelX + 1 97936 KachelY + 1 101082 1.55315555 -1.21081359 88.989258 -69.374508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21079670--1.21081359) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21079670--1.21081359) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55310761-1.55315555) × cos(-1.21079670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352273883993595 × 6371000     		do = 107.593511701347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55310761-1.55315555) × cos(-1.21081359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.352258076643776 × 6371000     		du = 107.588683729831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21079670)-sin(-1.21081359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352273883993595-0.352258076643776)×R²
    abs(1.55315555-1.55310761)×1.58073498188194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58073498188194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58073498188194e-05×40589641000000     		ar = 11577.4681034257m²